Запишите временное уравнения шредингера для

Будь умным!

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2016-03-13

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой — мы готовы помочь.

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>2.4. » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»> » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»> Временное и » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>стационарное » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»> уравнения Шредингера

1. » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Запишите временное уравнение Шредингера.

1. » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Запишите стационарное уравнение Шредингера.
2. » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Что называют собственным значением энергии? Собственной волновой функцией?

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Значения энергии которые имеют место не при любых значениях параметра Е, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи, называется собственным значением энергии.

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Собственные значения энергии могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд.

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Решения же, которые соответсвуют собственным значениям энергии, называются собственными функциями.

1. » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>В чем отличие стационарного и временного уравнений Шредингера?

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>В стационарном уравнении Шредингера исключается зависимость Ψ от времени, и называется стационарным состоянием-состояние с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется стационарно, т.е. функция » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>U » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>= » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>U » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>( » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>x » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>, » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>y » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>, » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>z » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии.

1. » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Граничные условия для частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>На границах «ямы» (при х=0 и х=0) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид: Ψ(0)=Ψ( » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>l » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>)=0

1. » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Собственная волновая функция частицы в одномерном потенциальном ящике имеет вид . Как можно определить коэффициент пропорциональности А в этом выражении?

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки, которое для данного случая запишется в виде:

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»> А²∫ » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>sin » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>²( » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>nπ » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>/ » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>l » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>) » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>xdx » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>=1

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>В результате интегрирования получим А=√2/ » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>l

1. » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Собственные значения энергии частицы в одномерном потенциальном ящике имеют вид . Каково расстояние между 3-м и 4-м энергетическими уровнями?

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>∆ » xml:lang=»kk» lang=»kk»>Е » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>=E4- » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>E » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>3=( » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>π » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>² » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>h » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>²/2 » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>ml » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>²)(2*4-1)=49 » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>π » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>² » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>h » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>²/ » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>ml » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>²

1. » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Собственные значения энергии частицы в одномерном потенциальном ящике имеют вид . Каково расстояние между 1-м и 2-м энергетическими уровнями?

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>∆ » xml:lang=»kk» lang=»kk»>Е » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>=E2- » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>E » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>1=( » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>π » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>² » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>h » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>²/2 » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>ml » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>²)(2*2-1)=9 » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>π » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>² » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>h » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>²/ » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>ml » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>²

1. » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Собственные значения энергии частицы в одномерном потенциальном ящике имеют вид . Во сколько раз отличаются значения энергии электрона и протона, находящихся в одинаковых ящиках?

» xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>m » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>(электр)=9,1095*10(-31)кг

» xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>m » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>(протон)=1,673*10(-27)кг

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»> Е(электр)/ Е(протон)=1,8*10(3)пДж

1. » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Собственные значения энергии частицы в одномерном потенциальном ящике имеют вид . Как изменится энергия электрона в основном состоянии, если ширину ящика уменьшить в 2 раза.

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Следуя формуле можно определить, как изменится энергия, в данном случае энергия должна увеличиться в 4 раза

1. » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Квантовая частица в бесконечно глубокой прямоугольной одномерной потенциальной яме имеет дискретный энергетический спектр (энергия частицы квантована). Как зависит эта энергия от значения квантового числа » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>n » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>?

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях Е зависящих от целого числа » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>n » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>. Следовательно, энергия Е частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>определенные дискретные значения » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>, т.е. » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>квантуется » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>. Квантованные значения энергии Е называются » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>уровнями энергии » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>, а число » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>n » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>, определяющие энергетические уровни частицы, называется » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>главным квантовым числом » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>. Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне Е или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>n » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>.

1. » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Чему равна величина ;font-family:’Symbol'» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Dy » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»> » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>в уравнении Шредингера » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>?

;font-family:’Symbol'» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Dy » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>- » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>оператор Лапласа (d²Ψ∕dх²_+ d²Ψ∕dу²+ d²Ψ∕dz²)

1. » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Что называют туннельным эффектом?

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Туннельный эффект -квантовое явлений, в результате которого микрообъект может «пройти» сквозь потенциальный барьер.

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Суть туннельного эффекта заключается в прохождении частицы сквозь потенциальный барьер и возможности её обнаружения в области запрещенной с точки зрения классической механики.

1. » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>На рисунке показана зависимость квадрата модуля волновой функции, определяющей состояние электрона в одномерной «потенциальной яме» шириной » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>L » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»> в квантовом состоянии при » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>n » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»> = 1. Какая из указанных координат соответствует состоянию, в котором вероятность обнаружить электрон наибольшая?

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>С увеличением квадрата модуля функции, т.е. с увеличением модуля амплитуды волн де Бройля увеличивается вероятность обнаружить электрон наибольшая. Следовательно в х3 вероятность больше.

1. » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Энергия электрона в одномерной «потенциальной яме» шириной » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>l » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»> определяется формулой . Как изменяется относительный энергетический интервал между уровнями при возрастании квантового числа » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>n » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>?

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>∆Е= » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>( » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>π » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>² » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>h » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>²/8 » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>ml » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>²)(2n+1)

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Е=( » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>π » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>² » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>h » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>²n²/8 » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>ml » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>²)можно заменить коэффициентом k.

» xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>∆ » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Е » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>/ » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>Е » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>=k(n+1)²-kn²/kn²=2n+1/n²

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>подставляя значение в » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>n » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>, можно узнать как изменяется энергия с возрастанием » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»> » xml:lang=»en-US» lang=»en-US»>n » xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»>

» xml:lang=»ru-RU» lang=»ru-RU»> -условие нормировки

Узнать стоимость написания работы —>

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе

Запишите временное уравнения шредингера для

Аналог классического волнового уравнения был предложен Э. Шредингером в 1925 г. Как и классическое уравнение, уравнение Шредингера связывает производные волновой функции по времени и координате. Уравнение Шредингера описывает поведение любых нерелятивистских систем. На примерах частицы, находящейся в бесконечно глубокой яме, и гармонического осциллятора рассмотрены простейшие квантовые системы, получены дискретные спектры состояний. Возможности описания динамики данных систем ограничены набором квантовых чисел, отражающих универсальные и внутренние симметрии квантовых систем.

4.1. Уравнение Шредингера

В квантовой физике изменение состояния частицы описывается уравнением Шредингера

(4.1)

где – оператор Гамильтона – аналог классической функции Гамильтона

в которой и заменены операторами импульса _x, _y, _z и координаты , , :

х → = х, y → = y, z → = z,

(4.2)

Уравнение Шредингера

Зависящее от времени уравнение Шредингера:

где – гамильтониан системы.

Разделение переменных. Запишем Ψ(,t) = ψ()θ(t), где ψ является функцией координат, а θ – функция времени. Если не зависит от времени, тогда уравнение ψ = iћψ принимает вид θψ = iћψθ или

Левая часть является функцией только координат, а правая не зависит от переменной x. Поэтому обе части последнего уравнения должны быть равны одной и той же постоянной, которую обозначим E

θ(t) = exp(−iEt/ћ), ψ() = Eψ() и Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ).

Уравнение ψ() = Eψ() называют стационарным уравнением Шредингера. Для одномерной системы с массой m в поле с потенциалом U(x) оно принимает вид:

или

Для трехмерной системы с массой m в поле с потенциалом U():

−(ћ 2 /2m)Δψ() + U()ψ() = Eψ(),

где Δ – лапласиан.

Так как уравнение Шредингера является линейным уравнением первого порядка по времени, то с его помощью по заданному значению волновой функции Ψ(x, y, z, 0) в момент времени t = 0 можно найти её значение в произвольный момент времени t − Ψ(x, y, z, t).

Уравнение Шредингера для стационарного состояния, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени, имеет вид

ψ() = Eψ().

(4.3)

Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера.

Так как в стационарном состоянии

Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ)

(4.4)

и вероятность найти частицу в момент t в точке x, y, z пропорциональна |Ψ(,t)|, то она

|ψ(x,y,z)| 2 , т.е. не зависит от времени. Аналогично, вероятность обнаружить значение физической величины, характеризующей систему, также не изменяется со временем, поскольку выражается через квадрат модуля волновой функции.

4.2. Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными стенками

Потенциальная энергия U(x) в прямоугольной яме удовлетворяет следующим условиям:

(4.5)

Рис.4.1. Прямоугольная яма с бесконечными стенками

Частица находится в области 0 ≤ x ≤ L. Вне этой области ψ(x) = 0. Уравнение Шредингера для частицы, находящейся в области 0 ≤ x ≤ L

(4.6)

Волновая функция, являющаяся решением уравнения (4.9), имеет вид

где k = (2mE/ћ 2 ) 1/2 . Из граничных условий ψ(0) = 0, ψ(L) = 0 и условий непрерывности волновой функции следует

kL = nπ, n = 1, 2, 3, … , то есть внутри потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками устанавливаются стоячие волны, а энергия состояния частиц имеет дискретный спектр значений E_n

n = 1, 2, 3, …

(4.9)

Частица может находиться в каком-то одном из множества дискретных состояний, доступных для неё.
Каждому значению энергии E_n соответствует волновая функция ψ_n(x), которая с учетом условия нормировки

(4.10)

В отличие от классической, квантовая частица в прямоугольной яме не может иметь энергию
E 2 π 2 /(2mL 2 ). Состояния частицы ψ_n в одномерном поле бесконечной потенциальной ямы полнос­тью описывается с помощью одного квантового числа n. Спектр энергий дискретный.

Рис. 4.2. Уровни энергии и волновые функции частицы Ψ в бесконечной прямоугольной яме. Квадрат модуля волновой функции |Ψ| 2 определяет вероятность нахождения частицы в различных точках потенциальной ямы.

4.3. Гармонический осциллятор

Положение уровней частицы в потенциальной яме зависит от вида потенциальной ямы. В одномерной потенциальной яме гармонического осциллятора потенциальная энергия имеет вид

(4.11)

В этом случае одномерное уравнение Шредингера имеет вид

(4.12)

Допустимые значения полной энергии определяются формулой

В отличие от бесконечной прямоугольной ямы, спектр уровней гармонического осциллятора эквидистантный.
С увеличением массы частицы или размеров области ее локализации квантовое описание частицы переходит в классическое.

Частица в одномерной потенциальной яме

Одномерная прямоугольная яма шириной L:

n = 1, 2, …

Одномерный гармонический осциллятор:

E_n = ћω₀(n + 1/2), n = 0, 1, 2,

4.4. Частица в поле с центральной симметрией

В сферических координатах стационарное уравнение Шредингера для частицы в центральном потенциале U(r) имеет вид

(4.14)

Решение уравнения (4.14) записываются в виде произведения радиальной и угловой функций

где радиальная функция R_nl(r) и угловая функция Y_lm(θ,φ), называемая сферической, удовлетворяют уравнениям

2 Ylm(θ,φ) = ћ 2 l(l +1)Ylm(θ,φ)

(4.16)

Ylm(θ,φ) = ћ 2 l(l +1)Ylm(θ,φ)

(4.17)

Уравнение (4.16) определяет возможные собственные значения l и собственные функции Y_lm(θ,φ) оператора квадрата момента 2 . Уравнение (4.17) определяет собственные значения энергии Е и радиальные собственные функции R_nl(r), от которых зависит энергия системы (рис. 4.3).
Схема уровней (последовательность и абсолютные значения энергий) зависит от радиальной функции R_nl(r), которая в свою очередь определяется потенциалом U(r), в котором находится частица.

Рис. 4.3. Радиальное распределение вероятности нахождения электрона в кулоновском поле протона (атом водорода). Расстояния даны в боровских радиусах
r₀ = ћ 2 /m_ee 2 ≈ 0.529·10 8 cм.

существуют лишь при определенных значениях квантовых чисел n (радиальное квантовое число), l (орбитальное квантовое число) и m (магнитное квантовое число).
Возможные энергетические состояния системы (уровни энергии) определяются числами n и l и в случае сферически симметричных состояний не зависят от квантового числа m. Число n может быть только целым:
n = 1, 2, …, ∞. Число l может принимать значения 0, 1, 2, …, ∞.

4.5. Орбитальный момент количества движения

Собственные значения L 2 и L_z являются решением уравнений

2 Y_lm(θ,φ) = L 2 Y_lm(θ,φ) и _zY_lm(θ,φ) = L_zY_lm(θ,φ).

Они имеют следующие дискретные значения

L 2 = ћ 2 l(l + 1), где l = 0, 1, 2, 3, …,
L_z = ћm, где m = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…, ± l.

Для характеристики состояний с различными значениями орбитального момента l обычно используют следующие обозначения:

Спектроскопические названия орбитальных моментов l

Состоянию с l = 0 отвечает сферически симметричная волновая функция. В тех случаях, когда l ≠ 0 волновая функция не имеет сферической симметрии. Симметрия волновой функции определяется симметрией сферических функций Y_lm(θ,φ). Имеет место интересное квантовое явление, когда решение сферически симметричной задачи (потенциал описывает сферически симметричную систему) приводит к состояниям, не обладающим сферической симметрией. Таким образом, симметрия уравнений не обязательно должна отражаться в симметрии каждого отдельно взятого решения этих уравнений, а лишь во всей совокупности этих решений.
Для частицы, находящейся в сферически симметричном потенциале, величина орбитального момента количества движения L:

(4.18)

Обычно, для упрощения, когда говорят о величине орбитального момента количества движения, называют этой величиной квантовое число l, имея в виду, что между l и L имеется однозначная связь (4.18).

Рис. 4.4 Возможные ориентации вектора при квантовом числе l = 2.

Так как величина l может принимать только целочисленные значения 0, 1, 2, 3,…, то и орбитальный момент количества движения L квантуется. Например, для частицы с l = 2 момент количества движения

=
= 6.58·10 -22 √6 МэВ·сек ≈ 2.6·10 — 34 Дж·сек.

Пространственное квантование. Орбитальный момент количества движения является векторной величиной. Так как величина орбитального момента количества движения квантуется, то и направление по отношению к выделенному направлению z, например, к внешнему магнитному полю, также квантуется и принимает дискретные значения Lz = ћm, где m изменяется от +l до –l, т. е. имеет 2l + 1 значений. Например, при l = 2 величина m принимает значения +2, +1, 0, -1, -2 (см. рис. 4.4). Вместе с тем энергия системы не зависит от m, т. е. от направления вектора , что является очевидным следствием сферической симметрии системы.
Состояние частицы, находящейся в сферически симметричном поле, полностью описывается тремя квантовыми числами: n, l и m.
Появление квантовых чисел связано со свойствами симметрии системы. Характер этой симметрии определяет возможные значения квантовых чисел. Очевидно, что система, описываемая функцией e im φ , примет прежнее значение только тогда, когда азимутальный угол φ в результате поворота вокруг оси z примет прежнее значение φ. Этому условию функция e im φ удовлетворяет только в случае, когда величина mφ кратна 2π. Т.е. величина m должна иметь целые значения. Так как необходимо учитывать вращение в двух противоположных направлениях и отсутствие вращения, единственно возможными значениями оказываются m = 0, ±1, ±2, … .

4.6. Спин

Спин − собственный момент количества движения частицы. Между значением вектора спина и квантовым числом спина s выполняется такое же соотношение, как между величиной значением вектора орбитального момента и орбитальным квантовым числом l:

2 = ћ 2 s(s + 1)

(4.19)

В отличие от орбитального квантового числа l, которое может быть лишь целым числом или нулем, спиновое квантовое число s (в дальнейшем просто спин) может быть как целым (включая нуль), так и полуцелым, т. е. s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, … , но при этом для каждой элементарной частицы спин может принимать единственное присущее этому типу частиц значение. Так, спины π-мезонов и К-мезонов равны 0. Спины электрона, протона, нейтрино, кварков и их античастиц равны 1/2. Спин фотона равен 1. Бозоны составляют класс частиц с целым значением спина, спин фермионов имеет полуцелое значение. Спин частицы невозможно изменить, также как её заряд или массу. Это её неизменная квантовая характеристика.
Как и в случае других квантовых векторов, проекция вектора спина на любое фиксированное направление в пространстве (например, на ось z) может принимать 2s + 1 значение:

s_zћ = ±sћ, ±(s − 1)ћ, ±(s − 2)ћ. ±1/2ћ или 0.

Число s_z − это квантовое число проекции спина. Максимальная величина s_z совпадает с s. Так как спин электрона равен 1/2, то проекция этого спина может принимать лишь два значения s_z = ±1/2. Если проекция +1/2, то говорят, что спин направлен вверх, если проекция -1/2, то говорят, что спин направлен вниз.

4.7. Полный момент количества движения

Полный момент количества движения частицы или системы частиц является векторной суммой орбитального и спинового моментов количества движения.

= + .

Квадрат полного момента имеет значение:

2 = ћ 2 j(j + 1).

Квантовое число полного момента j, соответствующее сумме двух векторов и , может принимать ряд дискретных значений, отличающихся на 1:

j = l + s, l + s −1. |l − s|

Проекция на выделенную ось J_z также принимает дискретные значения:

Число значений проекции J_z равно 2j + 1. Если для и определены единственные значения проекций на ось z l_z и s_z, то j_z также определена однозначно: j_z = l_z + s_z.

4.8. Квантовые числа

Квантовые числа – это целые или дробные числа, которые определяют все возможные значения физической величины, характеризующей различные квантовые системы – атомы, атомные ядра, кварки и другие частицы.

Таблица квантовых чисел

n	Радиальное квантовое число. Определяет число узлов волновой функции и энергию системы. n = 1, 2, …, ∞.
J, j	Полный угловой момент J и его квантовое число j. Последнее никогда не бывает отрицательным и может быть целым или полуцелым в зависимости от свойств рассматриваемой системы. 2 = ћ 2 j(j + 1).
L, l	Орбитальный угловой момент L и его квантовое число l. Интерпретация l такая же, как j, но l может принимать только целые значения, включая нуль: l = 0, 1, 2,…. L 2 = ћ 2 l(l + 1).
m	Магнитное квантовое число. Проекция полного или орбитального углового момента на выделенную ось (обычно ось z) равна mћ. Для полного момента m = ±j, ±(j-1), …, ±1/2 или 0. Для орбитального m = ± l, ± (l-1), …, ±1, 0.
S, s	Спиновый угловой момент S и его квантовое число s. Оно может быть либо положительным целым (включая нуль), либо полуцелым. s – неизменная характеристика частицы опреде­лен­ного типа. S 2 = ћ 2 s(s + 1).
sz	Квантовое число проекции спинового момента частицы на выделенную ось. Эта проекция может принимать значения szћ, где sz = ± s, ± (s -1), …, ±1/2 или 0.
P или π	Пространственная четность. Характеризует поведение системы при пространственной инверсии → — (зеркальном отражении). Полная четность частицы Р = π(-1) l , где π – её внутренняя четность, а (-1) l – её орбитальная четность. Внутренние четности кварков положительные, антикварков — отрицательные.
I	Изоспин. Характеризует свойство зарядовой инвариантности сильных взаимодействий

Для обозначения спинового момента часто используют букву J.

Все состояния, в которых может находиться квантовая система, описываются с помощью полного набора квантовых чисел. Так в случае протона в ядре состояние протона описывается с помощью четырех квантовых чисел, соответствующих четырем степеням свободы – трем пространственным координатам и спину. Это

• Радиальное квантовое число n ( 1, 2, …, ∞),
• Орбитальное квантовое число l (0, 1, 2, …),
• Проекция орбитального момента m (± l, ± (l-1), …, ±1, 0),
• Спин протона s =1/2.

Для описания сферически-симметричных систем в квантовой физике используются различные сферически симметричные потенциалы с различной радиальной зависимостью:

• Кулоновский потенциал U = Q/r,
• Прямоугольная потенциальная яма
• Потенциал типа гармонического осциллятора U = kr 2 ,
• Потенциал Вудса-Саксона (с его помощью описываются внутриядерные взаимодействия):

где U₀, а и R – положительные константы (R – радиус ядра). Во всех случаях сферически симметричные системы можно описать с помощью набора квантовых чисел n, l, j, j_z, однако, в зависимости от радиального вида потенциала энергетический спектр состояний системы будет различным.
Существование сохраняющихся во времени физических величин тесно связано со свойствами симметрии гамильтониана системы. Например, в случае, если квантовая система обладает центральной симметрией U = U(r), то этой системе соответствует сохранение орбитального момента количества движения l и одной из его проекций m. При этом из-за сферической симметрии задачи энергия состояний не будет зависеть от величины m, т. е. состояния будут вырожденными по m.
Наряду с пространственными симметриями, связанными с непрерывными преобразованиями, в квантовой физике существуют и другие симметрии – дискретные. Одной из них является зеркальная симметрия волновой функции относительно инверсии координат (→ —). Оператору инверсии соответствует квантовое число четность, которое может принимать два значения +1 и -1 в зависимости от того, сохраняется ли знак волновой функции при инверсии или меняется на противоположный.
Система тождественных частиц характеризуется еще одной симметрией – симметрией относительно перестановок тождественных частиц. Эта симметрия определяется свойствами частиц, образующих систему. Системы частиц с целым спином (бозонов) описываются симметричными волновыми функциями, системы частиц с полуцелым спином (фермионов) − антисимметричными волновыми функциями.

Задачи

4.1. Вычислите допустимые уровни энергии электрона, находящегося в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной 10 -8 см, протона, находящегося в потенциальной яме 5 Фм, и шарика массой 1 г, находящегося в потенциальной яме 1 см.

4.2. Рассчитать энергию перехода между состояниями 1s и 2s в атоме водорода.

4.3. Найти значение полного момента j для протона в d-состоянии. Каким будет результат измерения полного момента протона в состоянии 1d_5/2?

4.4. Найти полный момент (квантовое число j) системы двух нуклонов в s‑состоянии (l = 0).

4.5. Какие значения может иметь полный момент системы j, если
А. Нейтрон и протон находятся в состояниях с |l,s:j>_n = |1, 1 /₂: 3 /₂>, |l,s:j>_p = |1, 1 /₂: 3 /₂>?
Б. Два нейтрона находятся в состояниях с |l,s:j>₁ = |1, 1 /₂: 3 /₂> и |l,s:j>₂ = |1, 1 /₂: 3 /₂>?

4.6. А) Нейтрон находится в p-состоянии. Найти значения полного момента j и возможные значения проекции момента j_z. Каким будет результат измерения орбитального момента частицы в этом состоянии? Б) Рассмотрите задачу А) для протона в d-состоянии.
Ответ: А) j = 3/2, 1/2; j_z = ±3/2, ±1/2; L = ћ√ l(l +1) = √ 2 ћ;
Б) j = 5/2, 3/2; j_z = ±5/2, ±3/2, ±1/2; L = ћ√ l(l +1) = √ 6 ћ

4.7. А) Частица с собственным моментом s = 3/2 находится в состоянии с орбитальным моментом
l = 2. Найти полный момент частицы j.
Б) Частица с собственным моментом s = 1/2 находится в состоянии с орбитальным моментом
l = 3. Определите полный момент частицы j
Ответ: А) j = 7/2 ÷ 1/2; Б) j = 7/2, 5/2

4.8. Протон и нейтрон находятся в состоянии с относительным орбитальным моментом L = 1. Найти полный момент системы J.
Ответ: J = 0, 1, 2

4.9. На оболочке с квантовым числом n = 1, l = 2 находятся протон и нейтрон. Определить их суммарный полный момент J и его проекцию J_z. Изменится ли результат, если на оболочке n = 1,
l = 2 будут находиться два нейтрона?

4.10. Почему возникают вырожденные состояния?

4.11. Написать оператор Гамильтона электронов в атоме He.

4.12. Напишите стационарное уравнение Шредингера в сферической системе координат.

4.13. Какие квантовые числа характеризуют частицу в центрально-симметричной потенциальной яме?

4.14. Покажите, что волновые функции ψ = Aexp(kx −ωt) и ψ = Asin(kx −ωt) не удовлетворяют зависящему от времени уравнению Шредингера.

4.15. Покажите, что волновые функции ψ = Ae i(kx −ωt) и ψ = A(cos(kx −ωt) − sin(kx −ωt))удовлетворяют зависящему от времени уравнению Шредингера.

4.16. Частица находится в низшем состоянии n = 1 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L.
А) Рассчитайте вероятность обнаружить частицу в интервале Δx = 0.001L при x = 1 /₂L, x = 2 /₃L, x = L.
Б) Рассмотрите случай, когда частица находится в состоянии n = 2 при тех же значениях x.
Ответ: А) P(L/2) = 0.002; P(2L/3) = 0.0015; P(L) = 0; Б) P(L/2) = 0; P(2L/3) = 0.0015; P(L) = 0

4.17. Частица находится в состоянии n = 2 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L. Рассчитайте вероятность обнаружить частицу в интервале ( 1 /₃L, 2 /₃L).
Ответ: P(L/3, 2L/3) = 0.2

4.18. Электрон находится всостонии n = 5 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L. Рассчитайте вероятность обнаружить электрон в области x от 0.2L до 0.5L.
Ответ: P(0.2L, 0.5L) = 0.3

4.19. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Рассчитайте ширину потенциальной ямы, если энергия состояния n = 1 равна 0.1 эВ.
Ответ: L = 1.9 нм

4.20. Рассчитайте средние значения и 2 > для состояний n = 1, 2, 3 в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме.

4.21. Что общего и в чем различие в описании атома водорода в теории Шредингера и в модели Бора?

4.22. Почему энергии атома водорода в теории Шредингера не зависят от орбитального квантового числа l?

4.23. Угловой момент характеризуется квантовым числом l = 3. Какие значения могут принимать L_z и L 2 ?
Ответ: L_z = -3ћ, -2ћ. 3ћ; L 2 = 12ћ 2

4.24. Угловой момент характеризуется квантовым числом l = 3. Какие значения могут принимать L_z и L 2 ?

Временное и стационарное уравнение Шредингера

Статистическое толкование волн де Бройля и соотношение неопределенностей Гейзенберга привели к выводу, что уравнением движения в квантовой механике, описывающим движение микрочастиц в различных силовых полях, должно быть уравнение, из которого бы вытекали наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Основное уравнение должно быть уравнением относительно волновой функции (x,y,z,t), так как именно она, или точнее, величина 2 , определяет вероятность пребывания частицы в момент времени t в объеме dV, т.е. в области с координатами х и х+dx, y и y+dy, z и z+dz. Так как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны.

Это уравнение постулируется, а его правильность подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов.

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики (1926 г.)

4.1.Временное уравнение Шредингера:

Уравнение справедливо для нерелятивистских частиц 2 должна быть интегрируема (это условие сводится к условию нормировки вероятностей).

4.2.Стационарное уравнение Шредингера

В случае стационарного силового поля (функция U=U(x, у, z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая — только времени, причем зависимость от времени выражается множителем ).

Тогда волновая функция для стационарных состояний (состояний с фиксированными значениями энергии) может быть представлена в виде:

Стационарное уравнение Шредингера:

получилось после подстановки волновой функции во временное уравнение Шредингера и преобразований ( ∆ — оператор Лапласа, m – масса частицы; — приведенная постоянная Планка ( = h/2π ); E – полная энергия частицы, U – потенциальная энергия частицы. В классической физике величина (E –U)равнялась бы кинетической энергии частицы. В квантовой механике вследствие соотношения неопределенностей понятие кинетической энергии лишено смысла. Здесь потенциальная энергия U – это характеристика внешнего силового поля, в котором движется частица. Это величина вполне определенная. Она также является функцией координат, в данном случае U=U(x,y,z)).

Собственные значения энергии

В уравнение Шредингера в качестве параметра входит полная энергия Е. Реальный физический смысл имеют только решения, которые выражаются только регулярными функциями ( должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными).

Регулярные решения имеют место лишь при определенном наборе Е, отвечающем данной задаче.

Эти значения энергии, удовлетворяющие уравнению Шредингера, называют собственными. Они могут образовать как непрерывный, так и дискретный спектр энергий.

Дата добавления: 2017-11-21 ; просмотров: 4184 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ