Заполните таблицу уравнение коэффициент 3х2 7х

«Теорема Виета в решении квадратных уравнений». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Образовательные: повторить ранее изученные методы решения квадратных уравнений, продолжить формирование умения решать квадратные уравнения, познакомить учащихся с теоремой Виета и обратной теоремой Виета.

Развивающие: развивать навыки познавательной, мыслительной деятельности, логическое мышление, вырабатывать умение анализировать, развитие умений выделять главное при работе,развитие речи, внимания; формирование самостоятельности в мышлении.

Воспитательные: развивать интерес к математике, привитие аккуратности и трудолюбия, навыков самостоятельной работы и самооценки.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер, карточки с дифференцированными заданиями.

I. Организационный момент

II. Актуализация опорных знаний

— Мы начнем сегодняшний урок с высказывания математика Джорджа Пойа “Лучший способ изучить что-либо — это открыть самому”. (Слайд 1. Презентация).Это высказывание я выбрала не случайно, так как сегодня на уроке вам предстоит самим сформулировать теорему, которая играет важнейшую роль для дальнейшего изучения математики.

— Для начала давайте вспомним, какую тему мы с вами изучаем?

— Составьте, пожалуйста, синквейн по данной теме. (Слайд 2)

Заслушиваем несколько учащихся.

— Какое уравнение называется квадратным? (Слайд 3)

— Является ли квадратным уравнение:

а) 5x 2 -7x 3 +13=0;

в)

Возьмите приложение 1 и выполните задания. Соедините каждое уравнение, стоящее в левом столбце, с соответствующими ему коэффициентами а, b, с из правого столбца (Слайд 4):

Соедините каждое утверждение, стоящее в левом столбце, с соответствующим ему словом из правого столбца. (Слайд 5)

Что называют дискриминантом квадратного уравнения? (Слайд 6)
1. Как с помощью дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение?
2. Назовите формулы корней квадратных уравнений.

Вы научились решать неполные квадратные уравнения по специальным алгоритмам, а полные квадратные уравнения – по формулам. Решение по формулам громоздко, поэтому давайте с вами найдем другой более простой способ нахождения корней квадратного уравнения. Для этого проведем небольшую исследовательскую работу в парах. Возьмите приложение 2 и выполните задания, напечатанные в нем.

1. Решите приведенные квадратные уравнения

2. Заполните таблицу (Слайд 7).

Уравнение	а	b	c	Найдите значение D		x1	x2	x1+x2	x1*x2
х 2 – 7х – 18=0
х 2 — 10х + 21=0
х 2 + 13х — 30=0

Проверка полученных результатов учащихся с помощью заполненной таблицы (Слайд 8).

III. Изучение нового материала.

3. Установить связь между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами.

4. Запишите в тетради приведенное квадратное уравнение в общем виде, в котором второй коэффициент обозначим буквой p, а свободный член буквой q: х 2 + px + q = 0.

5. Запишите общую формулу корней приведенного квадратного уравнения.

6. Найдите сумму корней приведенного квадратного уравнения (x₁ + x₂ = — p)

7. Найдите произведение корней приведенного квадратного уравнения (x₁ * x₂ = q).

8. Сформулируйте полученный результат. (Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

Данное утверждение носит название теоремы Виета по имени французского математика Франсуа Виета. В 1591 году Виет ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений; благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней формулами.

Запишите, пожалуйста, в тетради тему сегодняшнего урока: «Применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений» (Слайд 9).

Откройте учебники и запишите теорему Виета (Слайд 10).

Можно ли использовать теорему Виета для решения неприведенных квадратных уравнений вида ax 2 + bx + c= 0?

Для уравнений вида ax 2 +bx+c=0 сумма корней равна ,

а произведение (Слайд 11).

Как вы думаете для чего нам нужна теорема Виета? Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного квадратного уравнения через его коэффициенты.

Справедливо утверждение, обратное теореме Виета:

Если m и n таковы, что их сумма равна — p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х 2 + px + q = 0. Запишите данную теорему в тетради (слайд 12).

По теореме, обратной теореме Виета, можно проверять, правильно ли найдены корни квадратного уравнения.

Если выполняется равенство и , то числа х₁ и х₂ являются корнями квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0.

IV. Физминутка (Слайд 13).

V. Закрепление изученного материала.

Трое учащихся с помощью учителя по очереди решают у доски 3 примера, а остальные учащиеся записывают эти решения в тетради.

Пример 1

Найдем сумму и произведение корней уравнения 3x 2 -5x+2=0.

Дискриминант D=1 — положительное число. Значит, уравнение имеет корни. Эти же корни имеет приведенное квадратное уравнение . Значит, сумма корней равна , а произведение равно .

Пример 2

Решим уравнение x 2 +3x-40=0 и выполним проверку по теореме, обратной теореме Виета.

Найдем дискриминант: D=169.

По формуле корней квадратного уравнения получаем: x₁ = — 8, x₂ = 5.

Покажем, что корни уравнения найдены правильно.

В уравнении x 2 +3x-40=0 коэффициент p = 3, а свободный член q= — 40. Сумма найденных чисел -8 и 5 равна -3, а их произведение равно -40. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения x 2 +3x-40=0.

Пример 3

Найдем подбором корни уравнения x 2 -x-12=0.

Найдем дискриминант: D=49-положительное число. Пусть x₁ и x₂— корни уравнения. Тогда

Если x₁и x₂ — целые числа, то они являются делителями числа -12.

Учитывая также, что сумма этих чисел равна 1, нетрудно догадаться, что x₁= — 3 и x₂ = 4.

Учащимся предлагается выполнить номера из учебника.

Задание 1. Найдите сумму и произведение корней уравнений № 580 а,д,в,г.

Задание 2. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета. № 581 ав.

Задание 3. Методом подбора найдите корни уравнений. № 583 ав.

Учащимся быстрее других, справившихся с данными номерами, предлагается решить следующее дополнительное задание:

Один из корней данного квадратного уравнения равен – 2.

Найдите коэффициент k и второй корень уравнения: 3х 2 + kх + 10 = 0 (к = 11, ).

VI. Самостоятельная работа на 10-15 минут. (Слайд 14)

Возьмите приложение 3 и выполните самостоятельную работу.

Номер задания	Количество баллов	Задание
Обязательная часть
1	1	Чему равно произведение корней уравнения квадратного уравнения х 2 + 3х — 1=0?
2	1	Чему равна сумма корней уравнения квадратного уравнения х 2 – 6х +8=0?
3	1	Составьте приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа – 3; 7.
4	2	Чему равно произведение корней уравнения квадратного уравнения 2х 2 + 9х — 6=0?
5	2	Один из корней данного квадратного уравнения равен –3. Найдите коэффициент k и второй корень уравнения: х 2 +4х + k = 0
Дополнительная часть
6	3	Составьте приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа .
7	3	Не вычисляя корней уравнения х 2 – 4 х – 5 = 0, найдите , где х1 и х2 — корни данного уравнения.

VII. Подведение итогов урока.

— Что нового вы сегодня узнали на уроке?

— Сформулируйте теорему Виета и теорему обратную теореме Виета.

— Всегда ли можно применять теорему Виета? (Нет, только когда D?0).

— Для чего нам нужна теорема Виета?

— Как можно решить уравнение: х 2 + 2х – 3 = 0.

Ответ: С помощью формул, с помощью теоремы Виета.

— Какие же корни? (-3 и 1).

— А еще это уравнение можно решить графически и этот способ решения мы изучим с вами на следующем уроке.

— Надеюсь, этот материал вы не забудете. Помните слова французского инженера-физика Лауэ: “Образование есть то, что остается, когда все выученное уже забыто”. (Слайд 15)

VIII. Домашнее задание (слайд 16).

1. Пункт 24, № 580 бежз, 581 г, 583 б.

2. Решить уравнение: х 2 + 2013х – 2014=0.

IX. Рефлексия. (Слайд 17).

Оцените степень сложности урока.

Вам было на уроке:

• легко;
• обычно;
• трудно.

Оцените степень вашего усвоения материала:

• усвоил полностью, могу применить;
• усвоил полностью, но затрудняюсь в применении;
• усвоил частично;
• не усвоил.

Самостоятельные работы по теме «Квадратные уравнения»
материал по алгебре (8 класс)

Данные самостоятельные работы помогут проверить знания учащихся по теме.»Квадратные уравнения»

Скачать:

Предварительный просмотр:

Самостоятельные работы по теме «Квадратные уравнения»

Самостоятельная работа № 1 по теме «Квадратные уравнения»

1. Заполните таблицу.

4 х 2 + 5 х – 4 = 0

3 х – х 2 + 19 = 0

2. Решите неполные квадратные уравнения

3.Составить квадратное уравнение по его коэффициентам и проверить, является ли указанное число х 0 корнем этого уравнения:

а) a = 2; b = –3; c = 1; х 0 = ;

б) a = –1; b = 4; c = 0; х 0 = 4;

в) a = ; b = –1; c = ; х 0 = .

Самостоятельная работа № 2 по теме «Квадратные уравнения»

В а р и а н т 1

1. Запишите квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен 3 ,

второй коэффициент равен –5 . Свободный член равен нулю.

2. Запишите приведённое квадратное уравнение, у которого второй

коэффициент и свободный член равны –2 .

3. Запишите неполное квадратное уравнение, у которого первый коэффициент

равен –5, свободный член равен 7, и решите его.

4. Запишите неполное квадратное уравнение, у которого первый коэффициент

равен 3, второй коэффициент равен 5, и решите его.

5. Решите уравнения:

1) = 3х 2) + 2х – 3 = 2х + 6 3) 3 + 7 = 12х + 7

В а р и а н т 2

1. Запишите квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен –5,

второй коэффициент равен 3. Свободный член равен нулю.

2. Запишите приведённое квадратное уравнение, у которого второй

коэффициент и свободный член равны –3.

3. Запишите неполное квадратное уравнение, у которого первый коэффициент

равен –3, свободный член равен 5, и решите его.

4. Запишите неполное квадратное уравнение, у которого первый коэффициент

равен 5, второй коэффициент равен 7, и решите его.

5. Решите уравнения:

1) = 6х 2) + 7х – 3 = 7х + 6 3) 3 + 9 = 12х + 9

Самостоятельная работа № 3 по теме «Квадратные уравнения»

1. Укажите, какие из данных уравнений являются квадратными, объясните ответ:

а) 2 х 2 + 7 х – 3 = 0; д) х 2 – 6 х + 1 = 0;

б) 5 х – 7 = 0; е) 7 х 2 + 5 х = 0;

в) – х 2 – 5 х – 1 = 0; ж) 4 х 2 + 1 = 0;

г) + 3 х + 4 = 0; з) х 2 – = 0.

2. Заполните таблицу.

3 х 2 + 7 х – 6 = 0

–5 х 2 + 2 х + 4 = 0

3 х – х 2 + 19 = 0

3. Составьте квадратное уравнение по его коэффициентам:

а) а = – 4; b = 3; с = 1; в) а = –1; b = ; с = 0;

б) а = ; b = 0; с = ; г) а = 2; b = 0; с = 0.

4. Приведите уравнение к виду ах 2 + bх + с = 0:

а) – х + 2 х 2 – 4 = 0; г) ( х – 3) ( х + 3) = 2;

б) 2 х 2 – 3 х = 5 х – 1; д) ( х – 1) 2 = 2 х + 4.

в) ( х – 2) (3 х – 5) = 0;

5 . Какие из данных уравнений являются приведёнными; неполными?

а) х 2 – 3 х + 5 = 0; г) х 2 – х = 0;

б) – х 2 – 7 х + 1 = 0; д) х 2 = 0;

в) х 2 + 5 х – 1 = 0; е) х 2 – 5 = 0.

6. Преобразуйте квадратное уравнение в приведённое:

а) – х 2 + 2 х – 5 = 0; г) 3 х 2 + 9 х – = 0;

б) х 2 + 3 х – 1 = 0; д) –5 х 2 + 10 х + 125 = 0;

в) 2 х 2 – 4 х = 0; е) 18 х 2 = 0.

Самостоятельная работа № 4 по теме «Квадратные уравнения»

1. Какие из данных уравнений являются квадратными:

а) 15х 2 – 8х + 7 = 0 б) х 2 + 8 = 0 в) −28х 2 − 18х + 6 = 0 г) 31х + 40 = 0 д) −16х 4 + 23 = 0 е) х 2 – 2х = 0

2. Назвать в квадратном уравнении его коэффициенты:

а) 3х 2 − 8х + 4 = 0 б) − 5х 2 − 9,4х = 0 в) 13х 2 − х = 5 г) − 1,3х 2 – 8 = 0 д) 2х − 13х 2 + 9 = 0 е) х 2 – х + 5 = 0

3. Записать квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, если известны его коэффициенты:

а) а = 3 b = 5 с = − 8 б) а = 1 b = 0 с = 10

в) а = 1 b = − 7 с = 0 г) а = 1 b = 0 с = 0

Самостоятельная работа № 5 по теме «Квадратные уравнения»

Решение записать в тетрадь.

1. Решите уравнение: 1,8 = 0.

2.Найдите сумму корней уравнения 2 + 6х = 0.

3. Найдите произведение корней (или корень, если он единственный) уравнения 3 – 12 = 0.

4. Найдите разность наибольшего и наименьшего корней уравнения + 2х – 3 = 2х + 6.

5. Для изготовления коробки из квадратного листа картона по углам вырезали 4 квадрата общей площадью 38 см 2 . Площадь оставшейся части 187 см 2 . Найдите сторону квадратного листа картона.

6. Произведение двух чисел равна их среднему арифметическому, а разность этих чисел равна 1. Найдите данные числа.

7. При каких значениях a уравнение ( b – 5) + 13х + b 2 – 25 = 0 является неполным квадратным?

3x²+7x-6=0 (3 умножить на x в квадрате плюс 7 умножить на x минус 6 равно 0) решить через дискриминант и по теореме Виета, найти корни.

Калькулятор квадратных уравнений

Введите данные:

Округление:

Уравнение:

\(a * x^ <2>+ b * x + c\) = \(3 * x^ <2>+ 7 * x — 6\) = 0

Дискриминант:

\(D = b^ <2>— 4 * a * c\) = \(7^ <2>— 4 * 3 *(-6)\) = \(49 +72\) = 121

Корни квадратного уравнения:

Решение по теореме Виета

Преобразование в приведённый вид

Преобразуем квадратное уравнение в приведенное (разделим все части нашего уравнения на коэффициент a):
\(\fracx^<2>+\frac*x+\frac\) = \(x^<2>+\frac<7><3>*x+\frac<-6><3>\) = \(x^ <2>+ 2.33 * x -2\)

Итого, имеем приведенное уравнение:
\(x^ <2>+ 2.33 * x -2 = 0\)

Теорема Виета выглядит следующим образом:
\(x_<1>*x_<2>=c\)
\(x_<1>+x_<2>=-b\)

Мы получаем следующую систему уравнений:
\(x_<1>*x_<2>=-2\)
\(x_<1>+x_<2>=-2.33\)

Методом подбора получаем:
\(x_ <1>= 0.67 (2/3)\)
\(x_ <2>= -3\)

Разложение на множители

Разложение происходит по формуле:
\(a*(x-x_<1>)*(x-x_<2>) = 0\)

То есть у нас получается:
\(3*(x-0.67)*(x+3) = 0\)

График функции y = 3x²+7x-6

Интервалы задаются через точку с запятой (; ). При задании интервалов и шага можно использовать математические выражения (прим. -4pi; (5/6)pi) или слово «авто» или оставить поля пустыми (эквивалентно «авто»)