Зарядка конденсатора дифференциальное уравнение зарядки

Изучение процесса заряда и разряда конденсатора

Лабораторная работа № 6

ИЗУЧЕНИЕ ПРОЦЕССА ЗАРЯДА И РАЗРЯДА КОНДЕНСАТОРА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Изучение процессов заряда и разряда конденсаторов в RC-цепях, ознакомление с работой приборов, используемых в импульсной электронной технике.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ

Рассмотрим схему, пред-ставленную на рис. 1. Схема включает в себя источник постоянного тока, активное сопротивление и конденсатор, процессы заряда и разряда в котором и будем рассматривать. Эти процессы разберем по-отдельности.

Пусть вначале источник тока e подключен к конденсатору С через сопротивление R. Тогда конденсатор зарядится так, как показано на рис. 1. Переведем ключ К из положения 1 в положение 2. В результате конденсатор, заряженный до напряжения e, начнет разряжаться через сопротивление R. Считая ток положительным, когда он направлен от положительно заряженной обкладки конденсатора к отрицательно заряженной, можем записать

, , , (1)

где i – мгновенное значение силы тока в цепи, знак «минус» которого показывает, что появление тока в цепи i связано с уменьшением заряда q на конденсаторе;

q и С – мгновенные значения заряда и напряжения на конденсаторе.

Очевидно, что первые два выражения представляют собой определения силы тока и электроемкости, соответственно, а последнее – закон Ома для участка цепи.

Из двух последних соотношений выразим силу тока i следующим образом:

.

Тогда можно записать уравнение

. (2)

Это дифференциальное уравнение, решением которого является экспоненциальная функция вида

, (3)

где q0 – заряд конденсатора в начальный момент времени t=0;

– время релаксации RC-цепи, измеряемое в секундах.

Если с начала разряда конденсатора пройдет время t=t , то, согласно (3), заряд уменьшится в е раз (е=2,71 – основание натурального логарифма). Поэтому по порядку величины t равна времени полного разряда конденсатора.

Поделив обе части уравнения (3) на величину емкости С, получим

e, (4)

где e= – напряжение на конденсаторе в начальный момент времени t=0.

Зависимость напряжения на конденсаторе от времени в рассмотренном процессе показана на рис. 2.

Зная данную зависимость, можно вычислить время q, за которое напряжение на конденсаторе уменьшится в 2 раза. Подставив значение U=e/2 в уравнение (4), получим

e=e, (5)

откуда можно получить значение

. (6)

Переведем ключ К на схеме (рис. 1) из положения 2 в положение 1. В результате начнется заряд конденсатора от батареи, имеющей ЭДС e, через сопротивление R.

Уравнения, описывающие заряд конденсатора, аналогичны выражениям (1)

, e–U, q=CU. (7)

Предполагаем, что внутреннее сопротивление источника тока пренебрежимо мало по сравнению с величиной R. Теперь ток в цепи считается положительным, когда он течет в направлении положительно заряженной обкладки конденсатора. Исключая в уравнениях (7) силу тока i и напряжение на конденсаторе U, получим уравнение:

. (8)

Запишем уравнение (8) в следующем виде:

. (9)

Решая это уравнение, получим

. (10)

Коэффициент А най-дем из начальных условий, а именно, q=0 при t=0 :

Рис. 3

В результате получаем зависимость q(t):

. (11)

Поделив обе части уравнения (11) на С, получим зависимость напряжения на конденсаторе U от времени

. (12)

Зависимость U(t) показана на рис. 3. Подставив в (12) значение напряжения, равного , получим

, (13)

где q – время, за которое напряжение на конденсаторе вырастает до половины своего максимального значения ( рис. 4). Отсюда время

Следовательно, дли-тельность заряда до по-ловины максимального значения напряжения на конденсаторе будет та-кой же, как и при разряде конденсатора (см. (6)).

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

Блок-схема установки представлена на рис.5.

Схема состоит из генератора прямоугольных импульсов ГИ типа Г5-54, магазина сопро-тивлений МС величиной от 0 до 10 кОм, элек-тронного осциллографа ЭО типа С1-83, и ис-следуемой емкости С.

Генератор позволяет получать прямоугольные импульсы разной длительности и амплитуды с разной частотой повторения, позволяет сдвигать время начала импульса относительно синхронизирующего импульса.

Прямоугольный импульс через магазин сопротивлений подается на исследуемый конденсатор и вход «Y» осциллографа. Осциллограф позволяет визуально следить за процессом заряда и разряда конденсатора. В работе используется емкость С»0,01 мкФ, R изменяется от 0 до 10 кОм. Для наблюдения процессов в RC–цепи удобной при этих значениях R и С является частота повторения 1–2 кГц. Длительность прямоугольного импульса должна быть достаточной для того, чтобы конден-сатор успевал зарядиться до напряжения, равного ам-плитуде импульса.

Из рис. 6 видно, что длительность прямоуголь-ного импульса Т меньше постоянной заряда RC–цепи t. Следовательно, конден-сатор не успевает зарядить-ся. Чтобы зарядить конден-сатор до напряжения, рав-ного амплитуде импульса, необходимо выполнить условие Т>>t.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Ознакомиться с блок-схемой установки, представленной на рис. 5.

2. Ознакомиться с работой генератора импульсов Г5-54, электронного осциллографа С1-83.

3. Подготовить генератор импульсов к работе, для чего выполнить следующие операции:

а) нажать кнопку «запуск»;

б) установить частоту повторения 2,0´103;

в) установить временный сдвиг 2,0´10;

г) установить длительность 2,0´10 mS;

д) нажать кнопку «Õ»;

е) нажать кнопку ´0,3;

ж) переключатель синхроимпульсов установить в положение «L»;

з) ручку «амплитуды повернуть на 1/3 вправо.

4. Подготовить осциллограф к работе, для чего:

а) ручку «развертка» поставить в позицию 10 mS;

б) нажать кнопку «0,5» внешней синхронизации;

в) нажать кнопку «+»;

г) вытянуть ручку «ждущая»;

д) род работы I канала установить в позицию «

е) переключатель «V/дел» поставить в положение «0,5»;

ж) нажать кнопку «I» слева от экрана.

5. Включить стенд и приборы.

6. Установить на экране осциллографа устойчивую картину, вращая ручки «развертка плавно».

7. Установить на магазине сопротивлений 1 кОм.

Упражнение 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИВОЙ ЗАРЯДА КОНДЕН-САТОРА

1. Установить величину усиления канала Y осциллографа таким, чтобы высота импульса на экране была максимально возможной. Ввести некоторую задержку импульса, чтобы не пропало его начало. Установить частоту развертки осциллографа такой, чтобы на экране уместилась полная кривая заряда конденсатора.

2. Измерить зависимость у(х), при этом измеряя х в мкс, а у – в вольтах. Результаты занести в таблицу

3. Построить кривую заряда конденсатора.

Упражнение 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИВОЙ РАЗРЯДА КОНДЕН-САТОРА

1. Аналогично предыдущему упражнению провести измерения для разряда конденсатора. Результаты занести в подобную таблицу.

2. По кривой разряда конденсатора определить время q. Вычислить постоянную времени t, используя формулу (6).

3. Учитывая, что погрешность определения q зависит в основном от приборной, оценить и рассчитать относительную погрешность

.

4. Аналогичные измерения провести для значений R=2 кОм и 0,5 кОм.

4. На основании полученных значений t для 3-х разных R вычислить величину емкости С. Определить относительную погрешность

,

где Dt и DR – абсолютные погрешности измерения.

5. Определить абсолютную погрешность величины емкости при данных измерениях.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое электрическая цепь, какие элементы входят в состав замкнутой электрической цепи?

2. Что такое электроемкость проводника? От каких параметров зависит величина электроемкости плоского конденсатора?

3. Оъясните понятие «RC-цепочка»?

4. Переходные процессы, в каких цепях они возможны?

5. Что означают «мгновенные значения» электрического тока и напряжения, как их вычислить?

6. Как определить максимальные значения напряжения на конденсаторе и тока в цепи?

7. Что такое постоянный электрический ток? Чем он отличается от переменного?

8. Каким образом определяется направление тока в цепи?

9. Вывести уравнение (1).

10. Что такое время релаксации?

11. Какова зависимость напряжения на конденсаторе от времени при его разрядке?

12. Вывести закон изменения напряжения на конденсаторе при зарядке конденсатора.

13. Объясните физический смысл уравнения (6).

14. Сравните время заряда и разряда конденсатора.

15. Каким условиям должна удовлетворять длительность импульса генератора?

16. Объяснить работу установки по принципиальной электрической схеме.

17. Нарисовать блок-схему установки и рассказать порядок выполнения работы.

18. Почему в данной установке нет источника постоянного тока, показанного на принципиальной схеме?

19. Можно ли в данной установке применить генератор синусоидального напряжения, пилообразного напряжения?

20. Какой частоты и длительности импульсы должен вырабатывать генератор?

21. Для чего нужно в данной схеме активное сопротивление R? Какой должна быть ее величина?

22. Какого типа конденсаторы и резисторы могут применяться в данной установке?

23. Какие значения могут иметь емкость и сопротивление в данной схеме?

24. Для чего нужна синхронизация сигнала осциллографа?

25. Каким образом добиваются оптимального вида сигнала на экране осциллографа? Какие регулировки при этом применяются?

26. Чем отличаются цепи заряда и разряда конденсатора?

27. Какие измерения нужно провести, чтобы определить емкость конденсатора в RC-цепи?

28. Как оценить погрешности измерений при работе установки?

29. Как повысить точность определения времени релаксации RC-цепи?

30. Назовите пути повышения точности определения емкости конденсатора.

Квазистационарные процессы. RC- и RL-цепи

Колебательные и волновые процессы, которые изучаются в разных разделах физики, имеют много общих закономерностей. Движения груза на пружине, процессы в электрическом колебательном контуре, распространение света – все эти явления протекают аналогичным образом. Есть смысл говорить об их различной физической природе.

Для решения задачи о колебательных движениях груза на пружине необходимо знать и разбираться в законах Ньютона. Глубокие знания в электродинамике не требуются. Но математические уравнения, которые описывают эти состояния, одинаковые. Также обстоят дела и с волновыми процессами.

Квазистационарные процессы. Заряд и разряд конденсатора

Общность колебательных процессов и волновых закономерностей проявляется в общности математических уравнений, описывающих процессы различной физической природы.

Цепи постоянного тока распределяют электрический заряд на проводниках и токи на участках цепи стационарно, то есть независимо от времени. Электромагнитное поле таких цепей состоит из электростатического поля неподвижных зарядов и магнитного поля постоянных токов. Существование этих полей производится независимо друг от друга.

Если происходят изменения силы тока или напряжения на определенном участке цепи, то другие могут ощутить их на себе не сразу. Необходимо количество времени, равное времени τ распространения магнитного возмущения от одной точки к другой. Все электромагнитные возмущения обладают конечной скоростью, с которой и происходит их распространение. Она приравнивается к значению скорости света с , тогда τ ≈ l c , где l является расстоянием между наиболее удаленными точками цепи.

При наличии меньшего значения времени τ длительности процессов, происходящих в цепи, считается, что сила тока неизменна в любой момент времени на всех последовательно соединенных участках цепи. Такие процессы получили название квазистационарных.

Их исследуют при помощи законов постоянного тока, применяя к мгновенным значениям сил токов и напряжений на участках цепи.

Так как скорость света имеет достаточно большое значение, то установление электрического равновесия цепи достаточно мало. Отсюда следует, что квазистационарными считаются большинство процессов, протекающих очень быстро. Это сравнимо с колебаниями в радиотехнических цепях с многомиллионными частотами в секунду.

Простейшими примерами квазистационарных процессов являются процессы, проходящие в R C — и R L — цепях при подключении и отключении постоянного тока. Рисунок 2 . 1 . 1 показывает электрическую цепь, которая состоит из конденсатора с емкостью С , резистора с сопротивлением R , источником тока с ЭДС, равняющейся δ .

Рисунок 2 . 1 . 1 . Цепи зарядки и разрядки конденсатора через резистор.

Зарядка конденсатора через резистор

При замыкании ключа К в положение 1 конденсатор начнет заряжаться через резистор.

Квазистционарная цепь по закону Ома запишется как R J + U = δ , J – это мгновенное значение силы тока в цепи, U – мгновенное значение напряжения на конденсаторе. J равняется изменению заряда q конденсатора за единицу времени, то есть J = d q d t . В любой момент времени напряжение U будет q C . Отсюда получаем, что: C R d U d t + U = δ .

Это уравнение называется дифференциальным и описывает процесс заряжения конденсатора. При отсутствии первоначальной его зарядки, уравнение принимает вид:

U ( t ) = δ 1 — e x p — t τ , где выражение τ = R C – постоянная времени цепи, которая состоит из резистора и конденсатора. Скорость процесса характеризуется величиной τ . При t → ∞ , U ( t ) → δ . На рисунке 2 . 1 . 2 ( I ) показан процесс зарядки конденсатора через резистор.

Рисунок 2 . 1 . 2 . Зарядка ( I ) и разрядка ( I I ) конденсатора через резистор.

После полной зарядки конденсатора к напряжению δ необходимо переключить ключ К в положение 2 . Тогда пойдет процесс разряжения. Так как внешний источник цепи отсутствует, то δ = 0 . Разрядка описывается с помощью формулы

U ( t ) = δ e x p — t τ .

При разрежении, изображенном на рисунке 2 . 1 . 2 ( I I ) , необходимо обратить внимание на зависимость U ( t ) . Если t = τ , тогда происходит уменьшение напряжения в конденсаторе в e ≈ 2 , 7 раз.

Также проходят процессы в цепи, если имеется индуктивность L с резистором, имеющим сопротивление R , как показано на рисунке 2 . 1 . 3 .

Рисунок 2 . 1 . 3 . Цепь, содержащая катушку с индуктивностью L , резистор с сопротивлением R и источник тока с ЭДС, равной δ .

Если цепь из рисунка 2 . 1 . 3 замыкается ключом и внезапно размыкается, тогда можно говорить о процессе установления тока. Данная последовательная схема включает в себя источник тока и резистор r с малым сопротивлением для того, чтобы с замкнутым ключом К батарея не закоротила. Так как r ≪ R , для записи уравнения процесса установления тока с таким r разрешено им пренебречь. Тогда R J = δ — L d J d t .

Уравнение оказывается аналогичным уравнению, описывающему заряд конденсатора с переменной силой тока J . Получаем:

J ( t ) = δ R 1 — e x p — t τ , выражение τ = L R – постоянная времени . Таким же образом получают закон убывания тока R L -цепей при замыкании ключа К .

J ( t ) = δ R e x p — t τ .

Видно, что процессы, происходящие в R C — и R L — цепях аналогичны механическим процессам во время движения в вязкой жидкости.

Рисунок 2 . 1 . 4 . Модель R C — контура.

Рисунок 2 . 1 . 5 . Модель R L — контура.

Изучение процессов зарядки и разрядки конденсатора (Лабораторная работа № 8)

Страницы работы

Содержание работы

Лабораторная работа №8

ИЗУЧЕНИЕ ПРОЦЕССОВ ЗАРЯДКИ И РАЗРЯДКИ КОНДЕНСАТОРА

Цель: усвоение понятия электрической емкости, изучение процессов зарядки и разрядки конденсатора осциллографическим методом, определение времени релаксации процесса и емкости конденсатора.

Если подключить конденсатор к источнику постоянного тока (рис 8.1), то напряжение на нем U_c экспоненциально возрастает, асимптотически стремясь к ЭДС источника. При этом ток I (см. направление тока на рис 8.1), протекающий через сопротивление R, убывает по экспоненте, уменьшаясь до нуля.

Процесс зарядки конденсатора можно описать с помощью закона Ома для полной цепи:

согласно которому сторонняя ЭДС равна сумме падений напряжения на всех участках цепи (внутренним сопротивлением источника пренебрегаем). В выражении (8.1) учтено, что напряжение U_c на обкладках конденсатора связано с зарядом Q соотношением U_c = Q/C , где С – емкость конденсатора. Дифференцируя (8.1) по времени и принимая во внимание, что сила тока равна скорости изменения заряда на обкладках

получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Решение уравнения (8.2) имеет вид:

где постоянная интегрирования I_C , равная силе тока в момент времени t=0, может быть определена из начальных условий. Поскольку в начальный момент времени Q=0, (заряд на обкладках не успел накопиться), то из (8.1) следует:

При разрядке конденсатора соответственно справедливы соотношения

(направление тока изменилось на противоположное, происходит уменьшение заряда на обкладках, начальное напряжение на конденсаторе равно ЭДС источника). В результате зависимость силы тока от времени остается неизменной.

Из уравнения (8.3) находим закон изменения напряжения U_R на сопротивлении R и напряжения на конденсаторе U_C (рис 8.2):

Для характеристики средней скорости изменения силы тока в цепи при зарядке и разрядке конденсатора вводится в рассмотрение время релаксации системы:

в течение которого сила тока уменьшается в е раз, т.е. при t = t составляет 0,368 от максимального значения

Закон изменения тока I и напряжений U_R и U_C при разрядке конденсатора через сопротивление R при отключенной ЭДС. Е находится из уравнения U_С = IR. Студентам самим предоставляется возможность выполнить решение этой задачи и убедиться в том, что U_С , I и U_R при разрядке конденсатора изменяются по одному и тому же закону:

exp(-t/RC). Если прологарифмировать выражение (8.3), получаем:

то есть изменение логарифма силы тока прямо пропорционально времени. При этом угловой коэффициент прямой, графически выражающий зависимость ln I =f(t), связан со временем релаксации обратной зависимостью

tg a = 1/t. Точка пересечения прямой с осью ординат дает значение логарифма начальной силы тока (рис 8.3).

На практике часто используется параллельное или последовательное соединение конденсаторов. Емкость нескольких параллельно соединенных конденсаторов равна сумме их емкостей:

В случае последовательного соединения конденсаторов справедлива такая же формула, как при параллельном соединении резисторов:

где N – количество соединенных конденсаторов.

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ.

Кассета ФПЭ–ПИ/09, магазин сопротивлений (2шт), магазин емкостей, источник питания, генератор низкочастотный, осциллограф С1-117.

Работа выполняется по схеме, приведенной на рис 8.4.

С низкочастотного генератора синусоидальный сигнал подается на кассету ПИ, с выхода которой прямоугольные импульсы через два магазина сопротивлений подаются на магазин емкостей. Для того, чтобы получить осциллограммы зарядки и разрядки конденсатора, необходимо через постоянные промежутки времени подключать конденсатор к цепи и сразу же его отключать. При чем частота переключения должна быть такой, при которой незаметно было бы мерцание изображения на экране. Роль такого переключателя в данной работе выполняют прямоугольные импульсы, получаемые с помощью кассеты ФПЭ–ПИ/09 или непосредственно с выхода генератора, поскольку большинство генераторов имеют синусоидальный и прямоугольный выходной сигналы.

Синусоидальный сигнал (1-3)В подается от входных гнезд Х1, Х2 через разделительный конденсатор С1 на компоратор напряжения (микросхема серии К554СА3Б). Выходной сигнал компоратора управляется усилительным каскадом. С выходных гнезд Х3, Х4 снимается сигнал прямоугольной формы положительной полярности, амплитудой 11,5 В при нажатой кнопке S 2.2. При нажатии кнопки S 2.1 переключателя S₂ (см переднюю панель кассеты ФПЭ–ПИ/09) на выходе получаем сигнал синусоидальной формы. К кнопке S 2.3 подпаян диод, препятствующий разряду емкости через преобразователь импульсов в период паузы. Плавное изменение скважности осуществляется изменением активного сопротивления потенциометром R1, глубокая регулировка скважности осуществляется при помощи кнопочного переключателя S1, установленного на передней панели. Этим переключателем можно менять емкость цепочки, подключив один конденсатор С2 или оба сразу С2 и С3.

1. Используя рис 8.4 соберите рабочую схему. Подключите к разъему кассеты ФПЭ–ПИ/09 кабель источника питания.

Внимание: без кассеты ПИ/09 можно получить прямоугольный сигнал непосредственно с генератора.

2. При трех различных значениях t = R₂C получите на экране осциллографа изображение импульсов зарядки и разрядки конденсатора. С помощью ручек «Вольт/делен», «синхронизация», и «время/делен» добейтесь устойчивого неподвижного изображения зарядки и разрядки конденсатора.

3. Зарисуйте координатную сетку экрана осциллографа в масштабе и кривые импульсов. Определите для всех трех значений время релаксации t (см рис 8.2, б), емкость конденсатора по известному сопротивлению и максимальное напряжение в импульсе. Вычислите постоянную времени цепи t расчетным путем и сравните ее со значением, найденным экспериментально. Найдите среднюю арифметическую ошибку измерений.

4. Не изменяя параметров схемы, подключите вход «Y» осциллографа к выходу сопротивления R₁ и зарисуйте осциллограмму напряжения U_R (см рис 8.2, б).

1. Квазистационарные токи.

2. Дифференциальные уравнения для RC – цепи.

3. Зависимость тока зарядки и разрядки конденсатора от времени.

4. Определение t цепи из осциллограммы.

5. Расчет емкости при параллельном и последовательном соединении конденсаторов.

6. В цепи, состоящей из последовательно соединенных С = 0,3 мкФ, R = 20 кОм, Е = 12 В, определить:

а) постоянную времени,

б) максимальный заряд, приобретенный конденсатором,

в) время, через которое заряд достигнет 90% от максимального.