Зависимость координаты от времени задано уравнением

Применение координатного и графического способов описания прямолинейного равномерного движения при решении задач кинематики

Разделы: Физика

Учебная: научить суворовцев решать задачи кинематики.

Методическая:

• получить алгоритм перехода от координатного способа описания прямолинейного равномерного движения к графическому при решении задач;
• решение задач;
• показ приема использования данной темы в военном деле.

Развивающая:

• развитие речи, памяти;
• логического мышления, внимания, воображения;
• развитие умения анализировать и самостоятельно формулировать выводы.

Воспитательная:

• воспитание аккуратности и точности при построении графиков движения;
• воспитание трудолюбия, ответственного отношения к учебе, любви к профессии военного.

Материальное обеспечение: кодоскоп, телевизор, видеомагнитофон, экран, видеокассета.

Связь с другими предметами: математика, начальная военная подготовка.

Тип урока: урок решения задач.

Метод работы: алгоритмический.

Продолжительность урока: 45 мин.

Ход урока

1. Подготовка к активной деятельности на основном этапе занятия

На предыдущих уроках мы познакомились с двумя способами описания прямолинейного равномерного движения – координатным и графическим. Они связаны между собой, так как описывают одно и то же движение. Если задан один из способов описания, например, координатный, то по заданному уравнению можно построить и график зависимости координаты и проекции скорости от времени. Существует и обратная возможность записи уравнения движения по известным графикам зависимости координаты и проекции скорости от времени.

Взаимосвязь между различными способами описания прямолинейного равномерного движения можно изобразить на следующей схеме.

(Показать на экране с помощью кодоскопа рисунок 1).

Рисунок 1

Сегодняшний урок мы посвятим определению порядка действий и операций при переходе от координатного к графическому способу описания прямолинейного равномерного движения на примере следующей задачи:

Движение тела описывается уравнением х = 2 + 3t, где все величины даны в СИ. Найти начальную координату тела, проекцию скорости тела на ось ОХ. Построить графики зависимостей координаты тела и проекции его скорости от времени.

Построение алгоритма решения задачи.

Учитель. В начале решения задачи необходимо провести поиск признаков, по которым можно определить объект, описанный в условии, и раздел физики, в котором изучается данный объект.

Ключевым словом в условии задачи является слово движение. Движение тел изучается физической теорией, которая называется механикой, поэтому наличие этого слова в условии сразу указывает на теорию, которую нужно применить для решения.

В условии дано уравнение зависимости координаты тела от времени. Эти уравнения для различных видов движений, изучаются в разделе механики, который называется кинематикой.

Учитель. Охарактеризуйте зависимость х = 2 + 3t.

Ученик. Уравнение зависимости координаты от времени показывает, что между координатой и временем существует прямопропорциональная зависимость, поэтому движение тела является прямолинейным и равномерным.

(С помощью кодоскопа на экране высвечивается лист повторения).

1. Прямолинейным равномерным движением называют такое движение, при котором тело (точка) за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.

2. Скоростью равномерного прямолинейного движения называют постоянную векторную величину, равную отношению перемещения тела за любой промежуток времени к значению этого промежутка:

.

3. Перемещение при прямолинейном равномерном движении .

4. Зависимость координаты x от времени t:

5. Проекция скорости на координатную ось равна изменению координаты в единицу времени и изображена на рисунках 2 и 3:

Рис. 2	Рис. 3

6. Графики движения (рисунок 4).

7. Графики скорости (рисунок 5).

Рис. 4	Рис. 5

“Движение” Механика.

Уравнение зависимости координаты от времени Кинематика.

Прямопропорциональная зависимость координаты от времени Прямолинейное равномерное движение Уравнение зависимости координаты от времени вида х = х_о + V_хt .

2. Действия и операции при поиске начальной координаты и проекции скорости по уравнению зависимости координаты от времени.

Учитель. Для нахождения начальной координаты и проекции скорости тела нужно сопоставить общее уравнение координаты прямолинейного равномерного движения с частным уравнением, заданным в условии задачи. Запишем эти уравнения в виде системы для удобства их сравнения.

В частном уравнении физические величины должны иметь тот же смысл, что, и в общем.

Вопрос. Какой смысл имеют цифры 2 и 3 в частном уравнении?

Ученик. Цифра “2” в частном уравнении имеет смысл начальной координаты тела, выраженной в метрах: х_о = 2 м.

Множитель, стоящий перед t имеет смысл проекции скорости, поэтому для данного частного случая V_x = 3 м/c.

Учитель. Что означает знак “+” перед проекцией скорости?

Ученик. Перед проекцией скорости стоит знак “+”; поэтому скорость тела сонаправлена с осью ОХ.

Учитель. Таким образом, мы определили первое действие и операции в алгоритме решения задач такого типа. (Спроектировать на экран с помощью кодоскопа действие 1).

Действие 1. Сопоставить общую и частную формы записи уравнения зависимости координаты от времени:

• свободный член в частной форме записи уравнений дает начальную координату тела х_о;
• численный коэффициент, стоящий перед временем t в линейном члене в частной форме записи уравнения, задает величину проекции скорости;
• знак величины, стоящий перед временем t, определяет направление скорости по отношению к выбранной системе координат.

3. Действия и операции при построении графика зависимости координаты от времени по известному уравнению данной зависимости.

Учитель. Построим график зависимости координаты тела от времени движения х = 2 + 3t. Для этого вспомним соответствующий раздел алгебры.

Ученик. Мы знаем, что график представляет собой прямую линию. Для построения прямой необходимо задать две любые ее точки. Точки выбираются произвольно, но для простоты расчетов одну из них свяжем с начальным моментом времени t = 0. Тогда из уравнения х = 2 + 3t следует, что х_о = 2м (х = 2м + 3м/с · 0 = 2м). Т.к. это координата в начальный момент времени, то ее следует обозначить х_о. Пусть t = 2с, тогда х = 8м.

Учитель. Таким образом, мы выполнили второе действие алгоритма решения задачи. (Спроектировать на экран с помощью кодоскопа действие 2).

Действие 2. Рассчитать координаты двух точек графика с помощью частного уравнения зависимости х(t) путем подстановки в него двух различных моментов времени, один из которых принимается равным нулю.

Предложить суворовцу изобразить график зависимости х(t) на доске, комментируя все свои действия.

Ученик. Изобразим оси координат. Вертикальная ось соответствует координате, измеренной в метрах, горизонтальная ось времени — в секундах. Выберем удобный масштаб осей координат. Отметим полученные точки А(0;2) и В(2;8) на координатной плоскости и проведем через них прямую.

Учитель. Итак, мы выполнили еще три последовательных действия алгоритма. (Спроектировать на экран с помощью кодоскопа действия 3, 4 и 5).

Действие 3. Изобразить оси координат и выбрать масштаб изображения координаты и времени согласно рисунку 6.

Рис. 6	Рис. 7	Рис. 8

Действие 4. Изобразить на графике расчетные точки (см. рис. 7).

Действие 5. Провести через отмеченные точки прямую, которая и будет являться графиком зависимости координаты от времени (см. рис. 8).

4. Действия и операции при построении графика зависимости проекции скорости от времени.

Учитель. Построим график зависимости проекции скорости от времени. В действии 1, при сопоставлении общей и частной форм записи уравнений движения было определено, что проекция скорости V_х равна 3, а также знак проекции.

Вопрос. Что будет являться графиком V_х = 3 в координатных осях V_х, t?

Ученик. Графиком будет являться прямая, параллельная оси времени.

Учитель предлагает суворовцу выйти к доске и изобразить график зависимости V_х от t, комментируя все свои действия.

Изобразим оси координат для построения графика. Вертикальная ось соответствует проекции скорости, измеренной в метрах в секунду, горизонтальная ось – времени, измеренному в секундах. Выберем масштаб оси координат. На оси проекции скорости найдем точку V_х = 3 с учетом ее знаков. Так как проекция скорости остается постоянной, то любым другим моментом времени будет соответствовать та же проекция скорости, поэтому график будет представлять собой прямую, параллельную оси времени. Это известное свойство графика функции, не зависящей от ее аргумента. Проведем прямую, параллельную оси времени через точку V_х = 3.

Учитель. Определен следующий порядок действий. Посмотрите на экран. (Спроектировать на экран с помощью кодоскопа действие 6, 7, 8).

Действие 6. Изобразить оси координат и выбрать масштаб изображения проекции скорости и времени (см. рис. 9).

Рис. 9	Рис. 10	Рис. 11

Действие 7. Изобразить на вертикальной оси точку, соответствующую проекции скорости с учетом ее знака (см. рис. 10).

Действие 8. Провести через точку на вертикальной оси соответствующую величине и знаку проекции скорости прямую, параллельную оси времени (см. рис. 11).

Учитель. Итак, мы получили порядок действий при построении графиков движения и скорости для прямолинейного равномерного движения по известному уравнению зависимости координаты от времени. Многие из этих действий в дальнейшем будут выполняться автоматически, в уме, так как они довольно просты. И время решения задачи заметно сократится.

Учитель. Пользуясь разобранным примером решения задачи, ответьте на вопросы и выполните указанные действия при решении задачи на карточках. (Каждый ученик имеет следующую карточку).

Задание выполнял ученик _________________________________ класс _____

Условия задачи. Зависимость координаты движущегося тела от времени выражается уравнением вида х = 6 – 2t. Найдите начальную координату и проекцию скорости движения данного тела, постройте графики зависимостей координаты и проекции скорости от времени.

1. По каким признакам, указанным в условии задачи, можно определить, что в условии описано прямолинейное равномерное движение?

2. Какое действие нужно совершить для нахождения начальной координаты и проекции скорости движения?

3. Выполните действие, названное в п.2; и определите начальную координату, величину и знак проекции скорости

4. Перечислите действия, которые необходимо выполнить для построения графика зависимости координаты тела от времени

5. Выполните действия, названные в п.4; и постройте график зависимости координаты от времени.

6. Перечислите действия, которые необходимо выполнить для построения графика зависимости проекции скорости тела от времени.

7. Выполните действия, указанные в п.6; и постройте график зависимости проекции скорости от времени.

Обобщение и систематизация знаний

Учитель. На сегодняшнем уроке мы показали алгоритм перехода от координатного способа описания к графическому. На первый взгляд он может показаться очень громоздким. На самом деле в результате многократного применения действий и операций по совместному применению координатного и графического методов эти действия как бы сворачиваются, переходят в умственный план, совершаются в подсознании. На поверхности остается результат в виде уравнения и графиков движения и скорости. Это и есть высший уровень овладения умениями решать задачи по данной теме.

Подведение итогов занятия, выставление оценок

Задание на самоподготовку. Построить аналогичным образом алгоритм перехода от графического способа описания к координатному на примере задачи:

На рисунке 12 изображен график зависимости координаты движущегося тела от времени. Найдите проекцию скорости тела, запишите уравнение зависимости координаты тела от времени и постройте график зависимости проекции скорости от времени.

Зависимость координаты от времени задано уравнением

1 мин = 60 с; 1 ч = 3600 с; 1 км = 1000 м; 1 м/с = 3,6 км/ч.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Типовая задача «Уравнение координаты (нахождение неизвестной величины)»

Задача № 1. В начальный момент времени тело находилось в точке с координатой 5 м, а через 2 мин от начала движения — в точке с координатой 95 м. Определите скорость тела и его перемещение.

Типовая задача «Уравнение координаты. Движение двух тел»

Задача № 2. Движение двух тел задано уравнениями x₁ = 20 – 8t и х₂ = –16 + 10t (время измеряется в секундах, координата — в метрах). Определите для каждого тела начальную координату, проекцию скорости, направление скорости. Вычислите время и место встречи тел.

Типовая задача «График координаты»

Задача № 3. Движение тела задано графиком координаты (зависимости координаты от времени). По графику определите: а) начальную координату тела; б) проекцию скорости тела; в) направление движения тела (по оси х или против оси х); г) запишите уравнение координаты.

Типовая задача «График координаты. Движение нескольких тел»

Задача № 4. На рисунке изображены графики движения трех тел. Изучив рисунок, для каждого тела определите: а) начальную координату; б) скорость; в) направление движения; г) запишите уравнение координаты.

ЗАДАЧИ ПОСЛОЖНЕЕ

Задача № 5. На рисунке представлены графики зависимости координаты х от времени t для пяти тел. Определите скорости этих тел. Проанализируйте точки пересечения графиков. Постройте графики зависимости скорости от времени.

РЕШЕНИЕ:

Задача № 6. По графикам на рисунке напишите уравнения движения x = x(t) . Из уравнений и графиков найдите координаты тел через 5 с , скорости движения тел, время и место встречи второго и третьего тел.

РЕШЕНИЕ:

Задача № 7. ОГЭ Расстояние ( S ) между городами М и К = 250 км . Одновременно из обоих городов навстречу друг другу выезжают автомашины. Машина из города М движется со скоростью = 60 км/ч , из города К — со скоростью ν₂ = 40 км/ч . Построить график зависимости пути от времени для каждой из машин и по ним определить место встречи и время их движения до встречи.

Задача № 8. ЕГЭ Скорость течения реки v_p = 1 м/с , скорость лодки относительно воды v₀ = 2 м/с . Под каким углом к берегу следует держать курс, чтобы лодка двигалась перпендикулярно берегу? За какое время t она переправится через реку, ширина которой d = 200 м ?

Алгоритм решения ЗАДАЧИ на Прямолинейное равномерное движение.

Задачи, описывающие движение, содержат два типа величин: векторные (имеющие направление) и скалярные (выражающиеся только числом). К векторным величинам при описании равномерного прямолинейного движения относятся скорость и перемещение.

Для перехода от векторов к скалярам выбирают координатную ось и находят проекции векторов на эту ось, руководствуясь следующим правилом: если вектор сонаправлен с осью, то его проекция положительна, если противоположно направлен — отрицательна. (Могут быть и более сложные случаи, когда вектор не параллелен координатной оси, а направлен к ней под некоторым углом.) Поэтому при решении задачи обязательно нужно сделать чертеж, на котором изобразить направления всех векторов и координатную ось. При записи «дано» следует учитывать знаки проекций.

При решении задач все величины должны выражаться в международной системе единиц (СИ), если нет специальных оговорок.

В решении задачи единицы величин не пишутся, а записываются только после найденного значения величины.

Это конспект по теме «ЗАДАЧИ на Прямолинейное равномерное движение с решениями». Выберите дальнейшие действия:

Уравнение координаты при равноускоренном прямолинейном движении

теория по физике 🧲 кинематика

Уравнение координаты — зависимость координаты тела от времени:

Уравнение координаты при равноускоренном прямолинейном движении:

x₀ — координата тела в начальный момент времени, v_0x —проекция начальной скорости на ось ОХ, a_x —проекция ускорения на ось ОХ, x — координата тела в момент времени t

Зная уравнение координаты, можно определить координату тела в любой момент времени.

Пример №1. Движение автомобиля задано уравнением:

Определить начальное положение автомобиля относительно тела отсчета, его начальную скорость и ускорение. Также найти положение тела относительно тела отсчета в момент времени t = 10 c.

Уравнение координаты — это многочлен. В уравнении выше оно включает в себя только 2 многочлена. Первый — 15 — соответствует начальной координате тела. Поэтому x₀ = 15. Коэффициент перед квадратом времени второго многочлена соответствует ускорению тела. Поэтому a = 5 м/с 2 . Второй многочлен отсутствует. Это значит, что коэффициент перед t равен 0. Поэтому начальная скорость тела равна нулю: v₀ = 0 м/с.

В момент времени t = 10 c координата автомобиля равна:

Совместное движение двух тел

Иногда в одной системе отсчета рассматривается движение сразу двух тел. В этом случае движение каждого тела задается своим уравнением. Эти уравнения используются для нахождения различных параметров движения этих тел. Такой способ решения задач называется аналитическим.

Аналитический способ решения задачи на совместное движение тел

Чтобы найти место встречи двух тел, нужно:

1. Построить уравнения зависимости x(t) обоих тел: x1(t) и x2(t).
2. Построить уравнение вида x₁ = x₂.
3. Найти время встречи двух тел t_встр.
4. Подставить найденной время в любое из уравнений x1(t) или x2(t), чтобы вычислить координату x_встрч.

Пример №2. По одному направлению из одной точки начали двигаться два тела. Первое тело движется прямолинейно и равномерно со скоростью 3 м/с. Второе тело — равноускорено с ускорением 1 м/с 2 без начальной скорости. Определите, через какое время второе тело догонит первое. Вычислите, на каком расстоянии от тела отсчета это произойдет.

Составим уравнения для движения каждого из тел:

Приравняем правые части этих уравнений и найдем время t:

Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

Чтобы найти, какое расстояние они пройдут за это время, подставим известное время в любое из уравнений:

x = 3t = 3∙6 = 18 (м).

Графический способ решения задачи на совместное движение тел

Существует графический способ решения данной задачи. Для этого нужно:

1. Построить графики x1(t) и x2(t).
2. Найти точку пересечения графиков.
3. Пустить перпендикуляр из этой точки к оси ОХ.
4. Значение точки пересечения — координата места пересечения двух тел.

Таким способом можно определить, в какое время произойдет встреча двух тел. Нужно лишь провести перпендикуляр к оси времени после построения графиков перемещений.

Графический способ решения задач требует высокой точности построения графиков. Поэтому он применяется редко!

Если в одной системе описывается движение двух тел, и одно тело начинает движение с опозданием t_запазд, то его уравнение координаты принимает

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Пример №3. Мальчики соревнуются в беге. По команде «Старт!» Миша побежал с ускорением 1 м/с 2 и через 4 секунды достиг максимальной скорости, с которой дальше продолжил движение. Саша отреагировал с опозданием и начал движение спустя 1 с после команды с ускорением 1,5 м/с 2 , достигнув максимальной скорости через 3 секунды. Найти время, через которое Саша догонит Мишу.

Если Саша догонит Мишу до того, как мальчики станут двигаться с равномерной скоростью, уравнение движения с равномерной скоростью можно игнорировать. Если это так, то корнем уравнения будет время, не превышающее 4 с (через столько времени оба мальчика начнут двигаться равномерно).

В таком случае составим уравнения только для тех участков пути, на которых мальчики двигались равноускорено:

Приравняем правые части уравнений и вычислим t:

В результате получаем два

Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.

Материальная точка движется прямолинейно с постоянным ускорением. График зависимости её координаты от времени x=x(t) изображён на рисунке.

В момент времени t=0 проекции её скорости υ_x и ускорения a_x на ось Ох удовлетворяют соотношениям:

а)

б)

в)

г)

Алгоритм решения

1. Определить характер движения материальной точки.
2. Записать уравнение координаты материальной точки.
3. С помощью графика зависимости координаты от времени и уравнения координаты определить проекции искомых величин.

Решение Графиком зависимости координаты от времени является парабола. Такой график соответствует равноускоренному прямолинейному движению. Уравнение координаты при равноускоренном прямолинейном движении имеет вид: Ветви параболы смотрят вверх. Это значит, что коэффициент перед квадратом переменной величины (времени) стоит положительный коэффициент. Следовательно, a_x>0. Поэтому варианты «б» и «г» исключаются. Остается выяснить, чему равна скорость: она равна нулю (как в ответе «а») или меньше нуля (как в ответе «в»)? Моменту времени t=0 соответствует точка, являющая вершиной параболы. Когда ветви параболы смотрят вверх, в ее вершине скорость тела всегда равна нулю, так как эта точка лежит на границе между отрицательной и положительной скоростью. Отсюда делаем вывод, что верный ответ «а».Ответ: а

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Алгоритм решения

1. Записать исходные данные.
2. Записать уравнение движения грузовика и преобразовать его с учетом условий задачи.
3. Выразить скорость грузовика из уравнения его движения.
4. Записать уравнение движения мотоциклиста.
5. Найти время встречи мотоциклиста и грузовика из уравнения движения мотоциклиста.
6. Подставить время в формулу скорости грузовика и вычислить ее.

Решение

• Координата встречи грузовика и мотоциклиста: x = 150 м.
• Время запаздывания мотоциклиста: t_запазд = 5 с.
• Ускорение, с которым мотоциклист начал движение: a = 3 м/с 2 .

Запишем уравнение движения грузовика:

Так как начальная координата равна нулю, это уравнение примет

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Отсюда скорость движения грузовика равна:

Запишем уравнение движения мотоциклиста:

Так как начальная координата равна нулю, начальная скорость тоже нулевая, и мотоциклист начал движение позже грузовика, это уравнение примет вид:

Найдем время, через которое грузовик и мотоциклист встретились:

Подставим найденное время встречи в формулу для вычисления проекции скорости грузовика:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить