Зависимость неустановившегося режима фильтрации описывается уравнением

НА НЕУСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМАХ ФИЛЬТРАЦИИ

Решение линейного стока определяется функцией Ei(x), которая представлена в виде табличных значений. Исследования показали, что при х -4 1/атм;
дебит q=110м3/сут;

начальное пластовое давление р =265 атм.

МЕТОД ХОРНЕРА

Если скважина работала определенный период времени t_p с дебитом q, а давление замерялось после остановки скважины в периоды времени Dt, то забойное давление после закрытия скважины можно определить, используя принцип суперпозиции, т.е. суммируя изменения забойного давления для дебитов (рис. 6.2.1):q в период времени (tp + Dt) и (О-q) в период времени Dt.

Тогда изменение забойного давления после закрытия скважины:

Метод Хорнера основывается на следующих допущениях:

— количество флюида, извлеченного из пласта за время t_p, пренебрежимо мало по сравнению с объемами запасов.

Если эти условия удовлетворяются, то можно заменить безразмерное давление в уравнении на логарифмическую аппроксимацию экспоненциального интеграла:

Это уравнение Хорнера, описывающее линейную зависимость p_ws от In [(t_p +Dt)/Dt] и характеризующееся коэффициентом наклона

и пересечением оси ординат в точке

kh вычисляется по величине наклона m (рис. 6.2.2) прямолинейного участка КВД в полулогарифмических координатах (аналогично процедуре анализа данных КПД):

скин-фактор определяется по разнице между давлениями, замеренными:

— после 1 часа восстановления давления Dt = 1 (рис. 6.2.2):

— и измеренного в момент закрытия p_wfp) = p_ws(Dt = 0).

Выражение для скин-фактора примет вид в координатах p_ws от ln((t_p +Dt) / Dt) и p_ws от log((t_p + Dt) / Dt) соответственно:

Прямолинейный участок на графике Хорнера можно экстраполировать до времени (tp + Dt) / Dt = 1, соответствующего бесконечному времени остановки скважины (рис. 6.2.3). В конечном счете давление восстановится до значения первоначального давления пласта р* = p_j; в случае незначительного истощения в период добычи. Данный способ достаточно точен только в случае короткого периода добычи, когда объем добытого флюида незначителен по сравнению с общими запасами в пласте. Обычно эти условия выполняются при проведении гидродинамических испытаний на разведочных скважинах.

В случае, если значительное количество флюида уже было извлечено из пласта за время t_p, то экстраполированное давление р* можно использовать для оценки среднего пластового давления. В данном случае р* отличается от среднего пластового давления, и необходимо скорректировать это значение, используя известный МВН метод (Matthews-Brons-Hazerbroek).

Упражнение 2 — КВД

В качестве примера обработки и интерпретации данных по восстановлению давления воспользуемся данными из упражнения 1, Скважину, которая проработала с постоянным дебитом q период времени t_p, закрыли на 72 часа и замеряли забойное давление p_ws. Скважина располагается в центре однородного бесконечного пласта, давление в пласте выше давления насыщения.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ по скважине:

пористость = 0.2;
продуктивная толщина h = 80 м;

радиус скважины r_w — 0.08 м;

объемный коэффициент нефти В₀ = 1;

вязкость нефти = 1 спз;

общая сжимаемость c_t = 2.2 х 10 -4 1/атм;

время работы скважины t_p = 48 час;

дебит q = 110 м3/сут;

забойное давление в момент закрытия скважины р(D1=0) = 245.4 атм.

MDH МЕТОД

На графике Хорнера КВД имеет линейную зависимость от ln[(tp + Dt) / Dt]. Уравнение Хорнера можно записать в более простой форме, в случае, если

т.е. забойное давление изменяется линейно в зависимости от In Dt. Данный метод интерпретации данных КВД был разработан с участием Миллера, Дайса и Хэтчинсона.

Разница между значениями Dр и Dp_MDH мала при (рис. 6.3.1), т.е:

— в начальный период времени проведения исследования скважины методом восстановления давления;

— после достаточно долгого периода добычи с постоянным дебитом.

При интерпретации данных КВД с помощью MDH метода строится график зависимости Dp_MDH от и по наклону m прямолинейного участка кривой определяются параметрыпласта:

Простота данного метода является одним из основных его преимуществ, однако существует несколько недостатков данного метода:

— данный метод невозможно использовать для нахождения экстраполированного давления р*;

— данный метод можно корректно использовать только в случае

Исследование скважин при неустановившихся режимах работы

7. Исследование скважин при неустановившихся режимах работы (со снятием кривых восстановления давления на забое)

Определение параметров пласта и скважины при данном методе исследования скважин основано на использовании про­цессов перераспределения давления после остановки или пуска скважины.

Методом восстановления (падения) давления можно исследовать фонтанные, глубиннонасосные (со штанговыми насосами или ЭЦН), периодически эксплуатируемые, пьезометрические и нагнетательные сква­жины.

Изменение давления прослеживается не­посредственно на забое той же скважины, на которой изменяется режим (дебит). Для учета притока нефти после закрытия сква­жины на устье необходимо прослеживать изменение давления на буфере и в затрубном пространстве.

С достаточной для практики точностью изменение давления на забое после мгно­венной остановки скважин (или изменения дебита) при отсутствии свободного газа в призабойной зоне может быть выражено уравнением

(7. 1)

где — изменение дебита скважины в пластовых условиях;

р(t) — текущее давле­ние на забое скважины;

р_с — забойное давле­ние до изменения режима работы скважины;

Рекомендуемые файлы

— коэффициент пьезопроводности пласта в районе исследуемой скважины;

r_cпр — приведенный радиус, учитывающий несовершен­ство скважины;

t — время с момента измене­ния режима эксплуатации скважины.

Уравнение (7. 1) можно представить в следующем виде:

(7. 2)

Следовательно, в полулогарифмических координатах кривая восстановления давле­ния является прямой линией с углом на­клона к оси lg t (рис. 7. 1) и с отсе­каемым прямой на оси отрезком В

(7. 3)

(7.4)

7.1 Обработка результатов исследования скважин со снятием кривой восстановления давления без учета притока жидкости к забою после ее остановки

При достаточном времени исследования скважины и большинстве случаев обработ­ка кривой восстановления давления без учета притока жидкости дает надежные ре­зультаты. Одновременно методика обработ­ки данных исследования является наибо­лее простой.

Проведение данного вида исследований и обработка результатов исследований – КВД при мгновенном прекращении притока в скважину заключается в следующем.

1. Спускают в скважину глубинный манометр или дифференциальный манометр.

2. Резко останавливают или пускают скважину в работу.

3. Измеряют с помощью глубинного дифференциального манометра значения P_заб во времени t

4. Определяют

5. Результаты полученных значений заносят в таблицу:

6. Кривая восстановления давления после остановки скважины строится в координа­тах Dр, lg t (Рис. 7.1). На прямолинейном ее участке выбираются две точки с координатами lg t₁ и lg t₂ и определяется угловой коэффициент прямой

. (7.5)

Рис. 7. 1. Кривая восстановления давления на забое скважины в полулогарифмических координатах.

Начало и конец выбранного прямолиней­ного участка на кривой lg t должны от­вечать неравенствам

; (7.6)

, (7.7)

где R_к — радиус условного контура питания (в расчетах обычно принимается равным половине расстояния между скважинами).

Указанные пределы (7.6), (7.7) при выборе прямолинейного участка способ­ствуют отсечению области существенного влияния на кривую восстановления притока жидкости в скважину после ее остановки (в начале кривой) и взаимодействия сква­жин (в конце кривой).

При существенной неоднородности пласта в выделенной области (ограниченной пре­делами) может быть несколько участков, каждый из которых будет характеризовать определенную зону пласта.

Измеряется отрезок В на оси от нуля до точки пересечения этой оси с прямолинейным участком КВД.

7. Проводят обработку данных КВД

а) определяется угловой коэффициент прямой

(7.8)

— по угловому коэффициенту определяют гидропроводность пласта e;

(7.9)

— определяют подвижность нефти в пласте

(7.10)

— определяют коэффициент проницаемости пласта в области дренирования скважины

(7.11)

б) Измеряется отрезок В на оси от нуля до точки пересечения этой оси с прямолинейным участком КВД, величина которого равна:

(7.12)

— определяют ; (7.13)

— определяют пьезопроводность пласта χ:

1) Если скважина совершенная и r_c известен по долоту то,

(7.14)

2) Если скважина несовершенная, то χ определяют по формуле Щелкачева

(7.15)

где b_ж — коэффициент объёмный упругости пластовой жидкости;

b_с – коэффициент объёмный упругости пористой среды;

m – коэффициент пористости.

Параметры, входящие в формулу (7.15) могут быть определены в лабораторных условиях.

— по величине χ определяют приведенный радиус скважины, учитывающий гидродинамическое несовершенство

(7.16)

— дополнительно определяют коэффициент продуктивности скважины:

(7.17)

где — объемный коэффициент нефти;

— плотность нефти в поверхностных условиях.

Таким образом, проводя исследования на неустановившихся режимах, определяют параметры пласта в области дренирования.

1. Коэффициент гидроводности пласта e.

3. Коэффициент проницаемости пласта k.

4. Коэффициент пьезопроводности пласта c.

5. По форме КВД в координатах Dp(t) – ln t можно качественно определить особенности строения неоднородной по проницаемости залежи (ухудшение фильтрационных свойств пласта вдали от забоя скважины приводит к увеличению угла наклона кривой):

Рис. 7.1. Фактическая КВД.

Причины искривления реальной КВД:

— влияние притока жидкости после остановки скважины;

— нарушение геометрии потока в ПЗП из-за несовершенства скважины;

— нарушение режима работы скважины перед ее остановкой;

— неизотермическое восстановление давления;

— наличие свободного газа в объеме скважины,

— ухудшенные в результате бурения и эксплуатации коллекторские свойства ПЗП по сравнению с удаленной.

— неоднородность пласта по простиранию (уменьшение угла наклона – улучшение коллекторских свойств наиболее удаленной зоны по сравнению с удаленной – линия 2, увеличение угла наклона – ухудшение коллекторских свойств – линия 3);

— наличие вблизи скважины непроницаемых границ (тектонических экранов, зон выклинивания пласта) – линия 4.

— средний участок — по теории прямолинейный. Длина участка ограничена, т.к. P_c стремится к P_пл, т.е. к горизонтальной асимптоте. Область применения этого приема интерпретации по II участку КВД ограничена условиями, при которых справедлива формула упругого режима: скважина — источник постоянной интенсивности; пласт — бесконечный и однородный; возможна мгновенная остановка притока флюида в скважину.

По КВД мы оцениваем kh/m для удаленных зон пласта, а по индикаторным диаграммам — kh/m для ПЗП.

Таким образом, интерпретация результатов исследований скважин на неустановившихся режимах фильтрации позволяет количественно оценить значения параметров, характеризующих пласт и скважину (гидропроводность, проницаемость и пьезопроводность пласта, приведенный радиус, коэффициенты совершенства и продуктивности скважины). Эти данные необходимы для:

1. Использования их в расчетах показателей разработки при составлении проектов разработки месторождений.

2. Сравнения их (характеризуют удаленную зону пласта) с аналогичными данными, полученными по результатам исследований на установившихся режимах эксплуатации (характеризуют ПЗП).

3. Определения параметров пласта во времени для оценки технологической эффективности мероприятий, связанных с применением методов увеличения нефтеотдачи пластов и для контроля за разработкой.

7.2 Обработка результатов исследования со снятием кривой восстановления давления и с учетом притока жидкости к забою после остановки скважины

В некоторых случаях при исследовании скважины не удается получить прямоли­нейный участок кривой восстановления дав­ления в координатах . Чаще всего это объясняется существенным влиянием продолжающегося притока (или оттока) жидкости из пласта в скважину (или на­оборот) после ее закрытия на устье. В ука­занных случаях необходимо обрабатывав данные исследования с учетом притока жидкости в скважину после ее остановки.

Для обработки кривых восстановления давления с учетом притока жидкости не­обходимо одновременно с фиксацией изме­нения давления на забое регистрировать из­менение потока жидкости во времени либо измерять изменение давления на буфере и в затрубном пространстве во времени (для фонтанных и компрессорных скважин), а для насосных скважин определять измене­ние уровня жидкости в затрубном про­странстве.

Имеется несколько методов обработки кривых восстановления давления в скважи­не с учетом притока жидкости с целью определения параметров пластов и скважин. На основании исследований (сопоставление методов с помощью гипотетической кривой и по результатам исследований скважин высокоточными глубинными манометрами) большинство авторов рекомендуют при­менять при обработке кривых восстановле­ния давления два метода.

При замедленном притоке жидкости пред­почтительнее применять интегральный метод Э. Б. Чекалюка, а при высокой скорости за­тухания притока следует использовать диф­ференциальный метод Ю. П. Борисова. Ин­тегральный метод также применяют и в тех случаях, когда кривые восстановления давления имеют разброс точек.

7.2.1 Интегральный метод Э. Б. Чекалюка

В данном случае основной формулой является

(7.18)

Q₀ — дебит скважины до ее остановки;

V(t) —суммарный приток жидкости в скважину к момен­ту времени t после ее закрытия на устье.

Если ввести в уравнение (7.18) коор­динаты ;

(7.19)

где п — масштабный коэффициент, получим прямую линию с угловым коэффициентом

(7.20)

и отрезком на оси у

(7.21)

Изменение суммарного притока жидкости «в скважину после ее закрытия на устье

, (7.22)

где F_зат, F_тр — площади сечений столбов жидкости в затрубном пространстве и в подъемных трубах, соответственно;

р_заб (t), р_зат (t), р_буф (t) — приращения давления на забое скважины, в затрубном простран­стве и на буфере, начиная от момента ее остановки;

— плотность нефти в пласто­вых условиях.

Для построения зависимости (7.18) не­обходимо вычислить координаты трех-четы­рех точек. Предварительно кривая восста­новления давления строится в специальных координатах в предположении, что исследование скважины длилось заданное время

и т. д. Величины G() определялись с по­мощью палеток (рис. 7.3), а интеграл Дюамеля — по предыдущим кривым путем графического интегрирования:

(7.23)

Здесь — выбранный шаг по оси абс­цисс при определении интеграла.

Рис. 7.3. Палетки для определения вспомога­тельной функции.

7.2.2 Дифференциальный метод Ю. Н. Борисова

Основной расчетной формулой в данном методе является

(7.24)

; (7.25)

. (7.26)

В формулах (7.25) и (7.26):

(7.27)

; (7.28)

; (7.29)

где D — внутренний диаметр обсадной ко­лонны скважины;

d₁ — внешний диаметр колонны фонтанных труб;

d — внутренний диаметр этой колонны;

— интервал вре­мени между двумя соседними точками (оди­наковый).

. (7.30)

По прямолинейному участку кривой, по­строенной в координатах , определяется уклон к оси абсцисс

(7.31)

и отрезок , отсекаемый на оси ординат.

Параметры пласта и скважины опреде­ляются по формулам (7.9)-(7.11), (7.15)-(7.17).

Метод предназначен для исследования длительно или временно простаивающих скважин с целью определения их продук­тивности (приемистости) и фильтрационных параметров пластов. С теоретической точки зрения этот метод является разно­видностью метода восстановления давле­ния. Он разработан для условий, когда давление на забое скважин равно или вы­ше давления насыщения.

Для исследования скважины экспресс-ме­тодом применяются два способа возбу­ждения: подкачка газа и «мгновенный подлив».

При первом способе в скважину, устье которой герметично закрыто, с помощью компрессора или от баллона подкачивается сжатый газ (воздух) с тем, чтобы уровень жидкости был оттеснен на несколько мет­ров или десятков метров.

Основной расчетной формулой при иссле­довании скважин экспресс-методом с под­качкой в нее газа является

(7.32)

(7.33)

(7.34)

Здесь S — постоянное число, рассматри­ваемое как параметр, который выбирается в зависимости от продолжительности пе­риода исследования в 1/с.

В результате исследования скважины спо­собом подкачки должны быть получены зависимости и величины изменения объема жидкости в стволе скважины V(t).

Для построения зависимостей по уравне­нию (VI. 55) необходимо выбрать несколько значений параметра S. Обычно принимают­ся 3-4 значения, чтобы минимальная величина S составляла (где Т — общая продолжительность исследований в с), а максимальная S равнялась бы . Промежуточные значения S определяются из приближенных равенств

. (7.35)

Интегралы (7.33) и (7.34) вычисляются после выделения точек излома линий и V(t). Для точек излома выписываются значения координат t с индексами (0, 1, 2, . j, j + 1, . k) и , V с теми же индексами.

Интегрирование осуществляется по при­ближенным формулам

(7.36)

(7.37)

По вычисленным значениям и V(S) находятся отношения т. е. получаются исходные данные для построения графика (рис. 7.4).

Рис. 7.4. Зависимость от , построен­ная по данным исследования скважины с под­качкой газа.

Возбуждение непереливающих скважин осуществляется путем быстрого погружения под уровень специальных баллонов, в ре­зультате чего уровень «мгновенно» поднима­ется на величину (где V₀ — общий объем погружаемых под уровень баллонов; F — площадь внутреннего сечения обсадной колонны). Этот способ называется «мгно­венным подливом».

Изменение уровня после подъема выра­жается величиной (рис. 7.5).

Рис. 7.5. Снижение уровня в скважине после «мгновенного подлива».

При обработке результатов исследования кривая перестраивается в координатах , в том же масштабе, что и па­летка (рис. 7.6). Фактическая кривая переносится на кальку и накладывается на палетку таким образом, чтобы горизонталь­ная линия фактической кривой совпала с осью абсцисс палетки.

Рис. 7.6. Палетка дли обработки результатов ис­следования скважин мето­дом «мгновенного подлива». Параметром кривых являет­ся коэффициент п.

Добившись хорошего совпадения факти­ческой кривой с одной из кривых палетки, с палетки на кальку переносится прямая, проходящая под углом 45° к оси . В точке пересечения последней с осью ординат фактического графика получается значение , по которому потенциированием находится значение . Отмечается также величина параметра п кривой палетки, с которой совместилась фактическая кривая.

При исследовании скважины способом подкачки гидропроводность и приведенный радиус скважины определяются по фор­мулам

(7.38)

, (7.39)

где i — уклон прямой в координатах (S) к оси :

, (7.40)

A, S — произвольная ордината на прямо­линейной зависимости и соответству­ющее ей значение S.

При исследовании скважин способом «мгновенного подлива» параметры пласта и скважины определяются по формулам

(7.41)

(7.42)

где — относительная (безразмерная) плот­ность жидкости в скважине.

7.4 Обработка результатов исследования скважин со снятием кривой восстановления давления на забое при эксплуатации трещиноватых пластов

Методика основана на соотно­шениях для неустановившихся процес­сов в стволе скважины после изменения режима ее работы, соответствующих на­чальным и более поздним периодам изме­нения давления:

(7.43)

(7.44)

(7.45)

где k_т — проницаемость трещиноватого пласта;

— удельная поверхность трещин ;

Т — объемная плотность трещин;

— пьезопроводность пористой среды.

Время регистрации показателей после из­менения режима работы скважины должно быть не менее 4—8 ч.

В качестве исходных данных для расче­та выбирают значения давления (и дебита) в моменты времени t_i, составляющие (на­чиная с t₂) геометрическую прогрессию со знаменателем , не превышающим двух. Удобнее принять .

. . .;

Значения давлений, не совпадающие для указанных моментов времени с замерен­ными, находятся линейным интегрирова­нием между двумя имеющимися точками.

Далее определяются вспомогательные функции S_i.

3, . . ., n-1); S_n = 0. (7.46)

В координатах р, S проводятся прямые и до их попарного пере­сечения.

Через п указанных точек пересечения в точку (0,1) проводится кривая , которая соответствует величине . Через (п—1) ближайшие к построенной кривой узловые точки и точку (0,1) проводится кривая, соответствующая , и т. д. до кривой, соответствующее значение для которой будет .

С помощью планиметра или по формуле Симпсона определяются площади, ограни­ченные каждой из построенных кривых и осями координат. Произведение величин этих пло-щадей на соответствующее значе­ние дает искомую величину интеграла в формуле (7.45).

Кривая восстановления давления строится в координатах , .

Если кривая имеет начальный прямоли­нейный участок, то определяется ее уклон к оси абсцисс () и отрезок, отсекаемый на оси ординат (В_н). Выбирая два доста­точно больших значения t₀, вычисляются

(7.47)

и кривая строится в координатах ,

Если кривая , имеет асимптотический прямолинейный участок с уклоном к оси абсцисс (), то, определяя В_н и сопос­тавляя с выражением (7.44), получим

; (7.48)

(7. 49)

; (7.50)

(7.51)

7.5 Метод гидропрослушивания

Пуск в эксплуатацию или остановка скважины при исследовании методом КВД влияет на работу соседних скважин (интерференция скважин). Степень этого влияния зависит от свойств пластовой системы и интенсивности импульса дебита.

Изучение свойств и строения пластов по результатам интерференции скважин называется гидропрослушиванием.

Метод гидропрослушивания скважин предназначен для установления гидродинамической связи между исследуемыми скважинами (рис. 7.7) Заключается в наблюдении за изменением давления в одной из них (реагирующей) при создании возмущения в другой (возмущающей).

Метод применяет­ся на залежах, эксплуатирующихся при дав­лениях выше давления насыщения и используется при условии фильтрации однофазной жидкости или водонефтяной смеси.

Цель: определить осредненные значения гидропроводности e и пьезопроводности c в районе исследуемых скважин.

Рис. 7.7. Схема проведения гидропрослушивания пластов:

1 – возмущающая скважина, 2 – реагирующая скважиная, 3 – пласт, 4 – глубинный прибор (манометр или дифманометр)

e₁ и e₂ – коэффициенты гидропроводности призабойных зон пласта, e₁¢ и e₂¢– коэффициенты гидропроводности удаленных зон пласта, e₃ – коэффициент гидропроводности пласта на участке между возмущающей и реагирующей скважинами.

Возможны три варианта получаемых значений коэффициента гидропроводности на участке между исследуемыми скважинами по сравнению с призабойной и удаленной зонами пласта вокруг скважин:

R- расстояние между возмущающей и реагирующей скважинами, м;

DR_к – перепад давления соответствующий t_к, Па ;

с – масштабный коэффициент, для перевода Dl (мм.рт.ст) в DR (Па).

По методу касательной не всегда удается обработать кривую гидропрослушивания, т.к. последняя может иметь такую форму при которой касательной провести нельзя. Кроме этого так обрабатываются результаты исследования для случая единичного измерения режима возмущающей скважины, т.е этот метод справедлив для условий, когда режим в возмущающей скважине в момент t=0 изменится на величину Q и поддерживался неизмененным.

Если изменение дебита возмущающей скважины создается путем его последовательного снижения (остановка скважины) и увеличения (пуск в работу через некоторое время), то на забое регулирующей скважины чувствительным дифманометром можно зарегистрировать кривую, имеющую максимум (Рис.7.9.)

Коэффициент пьезопроводности в этом случае можно опреде­лить по формуле

(7.54)

где t₁ — время между первым и вторым изменением дебита;

Рис. 7.9. Кривая гидропрослушивания, имеющая максимум

DQ_o — значение дебита в пластовых условиях при первом изменении;

DQ₁ — значение дебита в пластовых усло­виях при втором изменении.

При использовании метода эталонных кривых результаты исследований представляются в виде графика гидропрослушивания (рис. 7.10)). По оси ординат откладывается из­менение забойного давления реагирующих скважин, а по оси абсцисс — время в ча­сах. Время отсчитывается с момента из­менения режима работы возмущающей скважины (точка В).

Изменение давления в момент времени t_i соответствующее вертикальному отрезку , берется между фоном (AА₁) и факти­ческой кривой в реагирующей скважине (BC).

Рис. 7.10. График гидропрослушивания (изме­нение забойного давления в наблюдательной скважине от изменения дебита в возмущающей).

Фактическая кривая изменения давления на забое реагирующей скважины строится в координатах , таким образом, чтобы она разместилась на бланке. С этой целью выбираются соответствующие масштабы для оси времени и для оси давления.

На фактическую кривую накладывается эталонная, нанесенная на кальку (масштабы координатных осей у обеих кривых должны быть одинаковы), рис. 7.11.

Рис. 7.11. Эталонная кривая восстановления давления, применяемая при исследовании сква­жин методом гидропрослушивания.

При совмещении кривых следует соблю­дать параллельность координатных осей обеих кривых. Фиксируются значения сов­падающих точек кривых эталонной и фак­тической по давлению и по времени (соот­ветственно и — для эталонной кривой и и для фактической). Параметры пласта рассчитываются из соотношений:

; (7.54)

, (7.55)

где — изменение дебита возмущающей скважины;

R — расстояние между двумя взаимодействующими скважинами.

Документы

УСТАНОВИВШАЯСЯ И НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ГАЗА

Течение газа через пористую среду можно рассматривать как установившееся, когда условия фильтрации со временем не изменяются, или неустановившееся, когда условия со временем изменяются. Падение давления в газовом месторождении при отборе газа является не-установившимся процессом.

Однако при определенных условиях формулы для установившегося течения можно применять и для расчета неустановившегося течения. Такие условия могут существовать при течении газа в зонах, прилегающих к забоям продуктивных скважин, или при работе скважины, которая, как говорят, «стабилизировалась».

Большой материал по установившемуся и неустано-вившемуся течению дан в двух книгах Маскета (Mus-kat) [I. 11, I. 12]. Работы Ван Эвердингена и Херста (Van Everdingen and Hurst) [X. 27], Ароновского, Дженкинса (Aronofsky, Jenkins) и других [X. 1—X. 5, X. 19,

X. X], Писмена, Ричфорда (Peaceman, Rahford) и других [VII. 6, X. 14] и Мак Робертса (Mac Roberts) [X. 21] вместе с книгами Маскета являются основными источниками материала данной главы. Дальнейшее развитие подобных работ дано в трудах Чатаса (Chatas) [X. 7], Меттхыоса, Бронса и Хазебрука (Matthews, Brons and Hazebroek) [X. 22], Корнелла и Катца (Cornelia and Katz) [11.42, X. 11], Джанисека и Катца (Janicek and Katz) [X. 18] и Уарреиа (Warren) [X. 28].

На рис. X. 1, б дано схематическое изображение скважины, дренирующей пласт ограниченной протяженности и пласт достаточно больших размеров, во всяком случае чтобы считать его бесконечным по протяженности (рис. X. 1, а). Изменение давления в скважине вызывает радиальное течение газа в пласте по направлению к скважине или от нее в зависимости от того, уменьшилось или увеличилось давление в скважине.

На рис. X. 2 приведены кривые, характеризующие изменение дебита скважины, работающей при постоянном давлении на забое, или изменение забойного давления при работе с постоянным дебитом газа для установившегося и неустановившегося течения.

В высокопроницаемых пластах характер течения обычно приближается к установившемуся. В малопроницаемых пластах характер течения ближе к неустано-вившемуся. Степень приближения характера течения к установившемуся или неустановившемуся режиму

Рис. X, 2, Примеры установившегося и неустановившегося состояния.

а — случай, когда на скважине под-. держивается постоянное давление; 6 — случай, когда скважина работает с постоянным дебитом,

/ — установившееся состояние: 2 — неустановившееся состояние,

ющая ограниченный (закры*

/ — скважина; 2 — пласт, простираю* щийся до бесконечности; 3 — ограниченный продуктивный пласт.

определяется, кроме проницаемости, и по другим параметрам пласта, которые будут рассматриваться ниже.

Общий характер распределения давления в пласте при неустановившемся течении к единичной скважине, эксплуатируемой с постоянным дебитом, показан на рис, X, 3. При установившемся течении изменение градиента давления в выбранных координатах (р для жидкостей или р 2 для газов в зависимости от логарифма расстояния) изображается прямой линией, При неустановившемся течении прямолинейным является лишь участок кривой, соответствующий распределению давления вблизи скважины. На достаточно большом удалении от скважины наклон кривой постепенно изменяется и кривая стремится к горизонтальной линии, соответствующей максимальному давлению в пласте. Граница зоны, в которой градиент давления не равен нулю, со временем перемещается по пласту от скважины до тех пор, пока не достигнет границы пласта, Начиная с этого момента, пластовое давление снижается повсеместно, а распространение воронки депрессии прекращается, Рассмотрим вначале вывод формул для установившегося течения, а затем и для неустановившегося,

Рис. X. 3, Изменение давления в пласте на разные моменты времени.

§ 1. УРАВНЕНИЯ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ТЕЧЕНИЯ

Уравнения установившегося течения выводятся из закона Дарси, выражающегося для случая течения вязких жидкостей уравнением (II. I). Уравнение для случая радиального течения интегрируется по переменной площади фильтрации. При высоких скоростях течения существенную роль начинает играть отклонение от закона Дарси. Поэтому для условий пласта необходимо пользоваться формулой, учитывающей как отклонение от закона Дарси, так и радиальный характер течения.

1. РАДИАЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ ГАЗА ПО ЗАКОНУ ДАРСИ

Радиальное течение, которое можно наблюдать при фильтрации газа к продуктивной скважине или от нагнетательной скважины, схематически изображено на рис. X. 4, Площадь сечения, через которую фильтруется газ, при радиальном течении — величина переменная,

Рис. X. 4. Схема радиального течения,

и это должно учитываться при интегрировании уравнения (II. 1), Выразим площадь сечения A = 2nrh, где г — радиус в ж и h — мощность пласта в м. Для случая радиального течения газа уравнение (II. 1) принимает вид:

где h — мощность пласта в м; k — проницаемость в мд; р — абсолютное давление в ат; г — коэффициент сжимаемости; Т — абсолютная температура фильтрующегося газа в °К; I х — вязкость газа в ей; Q—дебит газа, приведенный к абсолютному давлению р = 1,033 ат и 15,5° С в м 3 /сутки.

Интегрируя уравнение радиального потока для постоянных значений k, Т, h, [х, z, получим

Эти единицы измерения в дальнейшем применяются в качестве «промысловых» единиц при расчетах фильтрации газа. Выражение 1 п(г,//»₂) представляет собой натуральный логарифм отношения радиусов, измеренных от центра ствола скважины. Когда газ течет из пласта в скважину, индекс 1 относится к точке в пласте, а индекс 2 к точке на стенке ствола скважины. Если, наоборот, газ нагнетается в скважину и фильтруется в пласт, индекс 1 соответствует точке на стенке скважины, а индекс 2 — точке в пласте на некотором удалении от скважины.

При осуществлении сайклинг-процесса в газоконденсатный пласт нагнетается 141 500 м 3 /сутки газа удельного веса 0,6, Пласт имеет следующие параметры: /г = = 6 м; k = 60 мд; 7’ = 358°К. Радиус скважины г_с=0,1 м.

Абсолютное давление нагнетания на забое скважины равно 161,69 ат. Рассчитать давление в точке пласта на удалении 15,25 м от центра скважины, принимая, что имеет место радиальное установившееся течение газа по закону Дарси,

Необходимо задаться давлением в пласте для определения значения вязкости и коэффициента сжимаемости газа. Принимаем р = 157,5 абс. ат.

Псевдокритическое абсолютное давление р_с=48 ат; псевдопрнведенное давление р_г = 3,35.

Псевдокритическая температура Тс = 198,5° К; псевдо-приведенная температура Т_т= 1,803.

По графику на рис. IV. 16 2 = 0,893; [х =0,017 спз.

„ 141500 х 0,893 X 358 х 0,017 X 5,01

= 26144 — 1448 =24696. рз= 157,15 абс. ат при удалении от оси скважины на 15,25 м.

2. РАДИАЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ПО ЗАКОНУ ДАРСИ

Формула для радиального течения жидкости выводится подобно формуле для газа и имеет вид:

где Q — дебит жидкости в м 25 /сутки; h — мощность пласта в м; k — проницаемость пласта в мд; р — абсолютное давление в ат; р.— вязкость жидкости в сп; г — радиус в м. Индекс 1 относится к пласту, индекс 2 — к стволу скважины.

Мощность пласта, м

Рис. X. 5. Поправка дебита для скважин, не полностью вскрывших продуктивный пласт

Уравнения (X. 2) и (X. 3) справедливы для случая, когда скважина вскрывает всю мощность продуктивного пласта. Маскет [1.12] дает диаграмму (рис. X. 5),.по которой находится поправка для дебита, когда скважина вскрывает лишь часть мощности продуктивного пласта. На этой диаграмме Q/Qo представляет собой отношение производительности скважины, частично вскрывшей пласт, к производительности скважины, полностью вскрывшей этот же пласт. Сплошными линиями показаны кривые для случая, когда радиус скважины равен

0,076 м, а пунктирными — для радиуса скважины

0,152 м. Расстояние до границы пласта во всех случаях принято равным 200 м.

Единицы измерения величин, входящих в уравнения (X. 4) и (Х.5), те же, что и в уравнении (Х.2). Кроме того, здесь 7—удельный вес газа; |3—коэффициент 1 /см. Определяется он по лабораторным исследованиям или из графика (рис. 11.23).

Уравнение (X. 5) применяется для расчета градиента давления при радиальном течении газа в зоне, прилегающей к забою продуктивной или нагнетательной скважины, Еленбаас и Катц (Elenbaas and Katz) [X. 15] вывели формулу для течения при отклонении ог закона Дарси в несцементированной пористой среде, учитывающую коэффициенты трения для зерен песка.

По имеющимся данным о газовой скважине вычислить эффективную проницаемость эксплуатируемого песчаника.

Радиус скважины равен 0,15 м, расстояние до соседней закрытой скважины 137 м, мощность газоносного пласта 8,85 м, мощность пласта, вскрытая скважиной, 3,35 м.

При исследовании на приток дебит скважины равнялся 1 100 000 м?/сутки. Давление на забое скважины рг равнялось 49,58 ат. Давление в пласте вблизи скважины 50,82 ат. Температура газа в пласте 17,2° С. Удельный вес газа 0,6. Для решения уравнения (Х.5) обычным способом определяют коэффициент сжимаемости. Коэффициент сжимаемости оказался равным 0,892. Вязкость газа по графику на рис. IV. 107 равна 0,0117 спз. Тот факт, что скважина не полностью вскрывает пласт, означает, что ее дебит будет существенно меньше дебита скважины, совершенной по степени вскрытия. Согласно графику на рис. Х.5 дебит газа данной скважины составит лишь 62% дебита скважины, полностью вскрывшей пласт. 62% от 8,85 м составляет 5,5 м. Следовательно, эквивалентная мощность пласта Л = 5,5 м.

Решая уравнение (X. 5) относительно k и оставляя в качестве неизвестного, так как (3 в свою очередь зависит от k, получим

50,82 2 -49,58* = X 0.117 X 0.892 X

X 290,2 — 1 100 000(137/0,15)

Если пренебрежем 3 что течение принимается = 563697/124,49 = 4528 мд.

Из графика рис. 11.23 для k = 4528 мд ft = 1,87 X X ЮМ/сж. Подставляя это значение J3 в уравнение для определения k, получим

что эквивалентно тому, по закону Дарси, го

При установившемся течении количество жидкости (или газа) в пределах данного потока остается неизменным, При неустановившемся течении количество вещества, входящего в какой-то элемент объема пористой среды, может отличаться от количества вещества, выходящего из этого элемента. Следовательно, содержание жидкости в пористой среде со временем изменяется. Такие изменения количества жидкости в пористой среде возможны благодаря сжимаемости жидкости. Отсюда для выражения неустановившегося течения необходимо ввести дополнительные переменные, кроме тех, которые уже использовались для выражения установившегося течения: время, пористость пласта и сжимаемость жидкости. Пористость пласта является мерой способности пористой среды вмещать (содержать) жидкость. Сжимаемость определяет изменение содержания жидкости с изменением давления.

Решение задач неустановившегося течения обычно осуществляется по следующей методике.

1. Составляется уравнение материального баланса, учитывающее массу добытой (нагнетаемой) и остающейся в пласте жидкости, для рассматриваемой геометрии потока. Это уравнение называется уравнением неразрывности.

2. Уравнение неразрывности комбинируется с уравнением, описывающим движение жидкости, с уравнением, учитывающим изменение плотности в зависимости от температуры и давления. В результате получается уравнение течения в частных производных. В качестве уравнения движения жидкости обычно берется закон Дарси.

3. Математически формулируются граничные условия, которые устанавливают отсутствие фильтрации через непроницаемые границы системы, определяют скорость нагнетания или отбора жидкости (или газа), указывают характер распределения начального и текущего давления и т. д.

4. Решается уравнение в частных производных при заданных граничных условиях с целью получения формулы, пригодной для инженерных расчетов.

Для большинства инженерных расчетов нет никакой необходимости каждый раз придерживаться данной методики. Для определения дебита или падения давления можно применять полные решения задачи данного типа. При этом трудности будут не больше, чем при решении задач установившегося течения. Большинство инженерных задач можно решать с применением готовых решений, представленных в форме рабочих диаграмм или таблиц. Только в тех случаях, когда решается задача совершенно нового типа, необходимо следовать приведенной выше методике, используя геометрию системы и граничные условия, которые соответствуют новой задаче. Поэтому имеет смысл привести полный вывод уравнений, чтобы инженер был подготовлен для решения новой задачи. Кроме того, знание вывода уравнения дает более полное представление о преимуществах и недостатках рабочих диаграмм.

1. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ

Уравнение неразрывности можно вывести, рассматривая входящий и выходящий поток из малого элемента объема. Такой поток лучше всего выражать как массу в единицу времени. Разность количества жидкости, вошедшей в элемент и вышедшей из него, составляет приращение массы в объеме элемента за некоторое время:

вошло — вышло = приращение.

Уравнение неразрывности вначале будет выводиться для общего случая трехмерного потока, а затем для радиального потока, следуя методике Стритера (Stru-ter) [X. 26а].

Рассматривая случай трехмерного потока (рис. X. 6, а) возьмем элемент объема, имеющий стороны длиной Ах, Дг/ и Дг в системе координат х, у иг.

и, v и w — скорости соответственно в направлениях, х, у и г, рассматриваемые в центре элемента. Эти скорости определяются площадью поперечного сечения потока без учета пористости среды. Плотность жидкости в центре элемента равна р.

Рис. X. 6. Элемент объема, которым пользуются при выводе уравнения неразрывности. а — линейное течение; 6 — радиальное течение.

В направлении х скорость потока, входящего в элемент объема с левой стороны, равна [и — ди/дхАдс/2]. Скорость потока, выходящего из элемента с правой стороны, равна [и + ди/дхД*/2]. Подобным же образом плотность жидкости у левой грани элемента равна [р — др/дхАх/2] и плотность у правой грани [р+ 2 р 2 2

Накопление жидкости в пределах элементарного объема выражается также в единицах массовой скорости потока. Это накопление происходит благодаря изменению плотности жидкости во времени в элементарном объеме и выражается в виде

где Ф—пористость среды (в долях единицы) a t — время.

Полагая, что разность входящего и выходящего потоков в элементарном объеме равна накоплению, и исключая ДяДг/Дг, получим уравнение неразрывности

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ТЕЧЕНИЯ

В качестве иллюстрации методики, по которой получаются дифференциальные уравнения, будет рассмотрен вывод уравнения для случая неустановившегося радиального течения газа. При замене ? на г в уравнении (II. 1) получим закон Дарси для случая радиалыюго потока;

При выводе уравнения неразрывности не делалось никаких допущений.

Для случая радиального течения уравнение неразрывности выводится подобным же способом. Элементарный объем показан на рис. X. 6, б. Течение существует только в радиальном направлении со скоростью, обозначаемой и. Объем элемента ограничивается окружностями радиусом г и г+ Д г и углом Да . Высоту элемента можно считать равной h и пористость Ф.

Массовая скорость течения на входе в элемент равна

Накопление жидкости в элементе равно ФгЛДаДг щ.

Поступая так же, как и в предыдущем случае, получим уравнение неразрывности

Подобным образом результирующие массовые скорости потока в элементарном объеме в направлениях у и г соответственно выражаются

держащими Д* в квадрате, вычитая скорость на выходе из скорости на входе и учитывая, что

При выводе уравнения (X. 14) и во время его применения следует помиить допущения, что k, г и Т являются постоянными, поэтому закон Дарси применим.

Уравнения в частных производных для других специфичных случаев неустановившегося течения могут быть выведены таким же путем, как для газа, так и для жидкости при лииейном или радиальном течении. В табл. X. 1 приведено несколько таких уравнений, причем вывод уравнений для жидкости основан на выражении плотности в виде

где Ро — плотность при некотором стандартном давлении ро; С — постоянная, имеющая размерность 1 /ат\ р — давление, при котором определяется плотность.

Большинство расчетов неустановившегося течения жидкостей производится по уравнениям с одним дополнительным допущением, заключающимся в том, что таким выражением, как или п Р ене бре-

гается. Для малосжимаемых жидкостей это допущение, по-видимому, является вполне удовлетворительным.

3. БЕЗРАЗМЕРНЫЕ ПАРАМЕТРЫ В УРАВНЕНИЯХ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ТЕЧЕНИЯ

При решении задач неустановившегося течения можно сделать большие упрощения, применяя безразмерные параметры. Показать в явной форме влияние на характер неустановившегося течения в пласте отдельных переменных (проницаемость, пористость, вязкость, скорость течения, давления, время и др.) невозможно. С другой стороны, указанные переменные могут группироваться вместе в виде нескольких безразмерных параметров, которыми легко пользоваться и которые дают простые соотношения между собой.

В табл. X. 2 приведены несколько наиболее распространенных безразмерных параметров. Самым важным из них является безразмерное ьремя t_D. Расстояние, на

где М — молекулярный вес или удельный вес газа, умноженный на 29; R — газовая постоянная; Т — абсолютная температура; г — коэффициент сжимаемости. Газовая постоянная г имеет значение 0,082055 (табл. IV. 1) при плотности в кг/м 3 , давлении в абс. ат и температуре в °К.

Комбинируя уравнения (X. 12) и (X. 13) с целью исключения плотности газа, получим уравнение радиального неустановившегося течеиия газа

Закон Дарси можно комбинировать с уравнением неразрывности для радиального потока (X. 10). Путем прямой подстановки получим

Р дг’ 2 ‘ дг дг » r rdr

В уравнение (X. 12) входят четыре переменные р, г, t и р. Одна из переменных должна быть исключена. Путем введения уравнения, выражающего плотность газа, можно исключить плотность р:

При выводе уравнения (X. 14) использовалось общее математическое соотношение

Уравнение для выражения плотности фазы

У равнение неразрывн ости

Уравнения неустановившегося течения для ламинарного режима

д (рп) ри ^ др дг + г

д(ри» ри др дг + г

Малосжи маемая жидкость

д(р и) ри др дг + г

* —С (др/дх) г мало и им преиебрегается.

** _С (др/дг) 2 мало и им преиебрегается.

Продолжение табл. X. 2

Безразмерный параметр в промысловых единицах

Безразмерное изменение давления

В зависимости от постановки задачи

Изменяется в зависимости от постановки задачи

Безразмерная общая добыча

Безразмерный дебит (одномерное течение)

котором проявляется неустановившееся течение в пласте, зависит от безразмерного времени. Безразмерный дебит т представляет собой наклон градиента давления при неустановившемся течении, как это следует из уравнения (X. 3) или (Х.5), что показано на рис. X. 3. В табл. X. 2 приведено несколько безразмерных отноше-

Безразмерные параметры, применяемые при расчетах неустановившегося течения

Безразмерный параметр в промысловых единицах

течение жидкости j течение газа

Безразмерное время (одномерное течение)

Безразмерное время (радиальное течение)

Безразмерное расстояние по радиусу

Безразмерное отношение давлений

Безразмерный дебит (радиальное течение)

Ний давления. Они включают отношения текущего давления р к начальному давлению пласта р_п, разности давления р—р„ к пластовому давлению р_п а разность давлений р—р„ к максимально возможной разности давлений р_к—р_п, где р_к — постоянное внешнее давление. Для случая течения газа применяются квадраты давления, как и в формулах установившегося течения.

При решении задач неустановившегося течения часто применяется член, выражающий безразмерное изменение давления Pt для случая постоянного дебита, или член, выражающий безразмерную добычу Qt для случая эксплуатации с постоянным рабочим давлением. Значения p_t были найдены для нескольких типов задач и для любого значения безразмерного времени. Этот член позволяет вычислить падение давления при пуске скважины или возрастание давления при нагнетании. Подобным образом член Q_t, выражающий безразмерную добычу, можно применять в расчетах количественного определения добычи для ряда типов промысловых задач.

Различные авторы при решении подобных задач применяли другие безразмерные параметры.

Применение таких видов безразмерных параметров имеет свои преимущества в некоторых типах расчетов. Тем не менее необходимость общих безразмерных параметров не вызывает сомнения. Поэтому безразмерные параметры, применяемые различными авторами, будут выражаться всякий раз, когда это возможно, с помощью общих безразмерных параметров, приведенных в табл. X. 2.

Следует стремиться представлять процесс при течении жидкости или газа, пользуясь безразмерными параметрами, а не отдельными переменными. Например, при течении газа расстояние, на которое распространяется возмущение в пласте, зависящее от безразмерного времени, помимо времени, определяется пластовым давлением и вязкостью газа.

4. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О РАДИУСЕ ДРЕНИРОВАНИЯ

Радиус дренирования работающей скважины используется не только для более наглядной характеристики поведения пласта, но и при формулировке математического решения задач неустановившегося течения. Для различных целей имеется несколько определений этого радиуса. В общем термин «радиус дренирования» обозначает расстояние, в пределах которого жидкость движется по направлению к продуктивной скважине.

Теория утверждает, что любое изменение давления в скважине мгновенно создает возмущения, по крайней мере бесконечно малые на протяжении всего пласта. Следовательно, в строгом смысле слова радиус дренирования является радиусом всего продуктивного пласта, от которого может осуществляться фильтрация к скважине. Однако, учитывая, что могут быть лишь бесконечно малые изменения давления, такое определение не всегда полезно и им редко пользуются.

Более важным является определение установившегося радиуса дренирования или кажущегося радиуса дренирования.

При данных рабочем давлении, пластовом давлении, дебите, характеристике пласта и свойствах газа для вычисления радиуса, в пределах которого жидкость в пласте, по-видимому, течет по направлению к скважине, можно воспользоваться формулой установившегося радиального течения. Вся движущаяся по пласту жидкость высвобождается за счет изменения давления в пределах этого кажущегося радиуса дренирования. Кажущийся радиус дренирования вычисляется экстраполяцией прямолинейного участка кривой градиента давления вблизи забоя скважины до максимального пластового давления (рис. Х.З): точки а₂, Ь₂, с₂ и d₂ соответствуют значению установившегося или кажущегося радиуса дренирования для различных четырех моментов времени.

Другим определением является определение эффективного радиуса дренирования г-,ф. Точки аз, Ьз, сз и d₃ на рис. X. 3 соответствуют значениям такого эффективного радиуса. Эффективный радиус дренирования больше установившегося радиуса дренирования. Однако очень незначительные изменения давления происходят и за пределами эффективного радиуса дренирования. После достижения границы продуктивной части пласта эффективный радиус дренирования становится тем же самым, что и радиус продуктивной части пласта. Более точное определение эффективного радиуса дренирования будет дано ниже.

Перемещение радиуса дренирования является очень важным моментом в поведении пласта. Установившийся и эффективный радиусы дренирования увеличиваются, в то время как скважина работает с постоянным дебитом и эффективный радиус еще не достиг границ пласта. Однако это увеличение радиуса дренирования, естественно, прекращается, когда достигается граница продуктивной части пласта. В течение перемещения радиуса дренирования работа скважины, как говорят, не стабилизирована, а когда перемещение его прекращается, то работа скважины стабилизируется, хотя в обоих случаях течение газа имеет неустановившийся характер. Эти термины будут рассмотрены в дальнейшем при определении характеристик поведения скважины.

5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ТЕЧЕНИЯ

Для решения различных уравнений неустановившегося течения, приведенных в табл. X. 1, имеется несколько методов.

Эти методы включают следующее.

1. Точные решения.

2. Аналитические решения с одним или более упрощающими допущениями.

3. Приближенные решения:

а) численные решения;

б) графические решения;

в) решения, полученные на электронных цифровых машинах.

4. Решения с использованием вычислительных устройств, основанных на принципе аналогии (пневматической, электрической, электронной).

Точные решения имеются лишь для случая течения малосжимаемых жидкостей. В них включены решения, взятые из задач по теплопроводности и обобщенные Черчиллем (Churchill) [X. 8], и решения, представленные Ван Эвердингеном и Херстом (Van Everdingen and Hurst) [X. 27]. Однако в известном смысле точных решений для таких задач по неустановившемуся течению нет, так как при выводе уравнений было необходимо допущение, что вязкость, коэффициенты сжимаемости, температура и проницаемость были постоянными. Это допущение позволяло пренебречь определенными параметрами. Однако если эти допущения принять, то можно непосредственно осуществить интегрирование и получить решение для уравнений (X. 19) и (X. 21).

Математическое решение для линейного течения малосжимаемых жидкостей дано очень детально применительно к проблемам распространения тепла Черчиллем [X. 8]. На рис. X. 7 приводится схема, иллюстрирующая задачу линейного течения жидкости. Первый символ при р, которым обозначается давление, указывает положение точки, в которой замерено давление. Второй символ указывает время, в которое производилось измерение давления. Соответственно р(Х\, 11) указывает давление в точке Х\, замеренное в момент времени /[. Для простоты постоянное начальное давление обозначается

Время после закрытия скважины, ч