Значение а корни уравнения х2 а

Алгебра. 8 класс

Вычислите и впишите ответы.

Укажите правильный ответ.

Решите уравнение x 2 = 2,5 и выберите его корни.

Укажите правильный ответ.

Решите уравнение (x – 2) 2 = 16.

Укажите правильный ответ.

Укажите уравнения, не имеющие корней.

При каких значениях переменной имеет смысл выражение?

Укажите правильный ответ.

Найдите корни уравнения 2x 2 = 0,32.

Укажите правильный ответ.

Решите уравнение x 2 = 3 с помощью графика функции.
Каковы приближённые значения корней?

Вычислите и впишите квадрат числа a.

НАШИ ПАРТНЁРЫ

© Государственная образовательная платформа «Российская электронная школа»

Задачи с параметрами, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратного уравнения

Разделы: Математика

1. Постановка цели урока:

Рассмотрим, как при решении задач с параметрами используются свойства квадратной функции. Задачи разнообразные по форме и содержанию, но объединены обшей идеей — в основе их решения лежат свойства функции: у=ах 2 +bх+с

Дискриминант, старший коэффициент а и х_о=(-b/2а) абсцисса вершины параболы конструируют основу, на которой строится теория решения задач, связанных с квадратичной функцией.

1. При каких значениях параметра а корни уравнения ах 2 -(2а+1)х+За-1=0 больше 1?

Очевидно, что задача равносильна следующей: “при каких значениях параметра, а корни квадратного трехчлена f(х)=ах -(2а+1)х+За-1 больше 1?

Переход от одной формулировки задач к другой дает возможность использовать основную идею решения, которая связана с описанием свойств квадратного трехчлена и с их геометрической интерпретацией.

В частности, чтобы корни квадратного трехчлена f(х)=ах +bх+с (а≠0) были больше числа d (х₁; х₂ > d) необходимо и достаточно выполнение условий:

Скажите, а как можно от совокупности двух систем перейти к одной системе

Мы получим условие того, что корни квадратного трехчлена больше данного числа d. Неплохо бы помнить данное утверждение, однако заучивать его не надо, гораздо важнее понять механизм возникновения необходимости неравенств и научиться его применить при решении конкретных неравенств и научиться его применить при решении конкретных задач. Вернемся к нашей задаче:

1. 
2. а=0

=> х=-1 не удовлетворяет условию задачи

Остается только решить эту систему неравенств (1) при а (1; )

Скажите, а есть ли другой способ задач? (Этот же результат мы получим, решая неравенство x₁>1, где x₁ — меньший корень уравнения.)

• При каких значениях а корни уравнения х 2 -2(а-1)х+2а+1=0 имеют разные знаки и оба по абсолютной величине меньше 4?
• Как можно перефразировать данное задание? (Например, корни квадратичного трехчлена принадлежат промежутку (-4;4)

• Как можно заменить два последних неравенства в данной конкретной задаче, учитывая, что ветви параболы направлены вверх?

Развиваем I — ключевую задачу:

При каких значениях параметра а оба корня уравнения х 2 -ах+2=0 удовлетворяет условию 1 -2 очень сложно.

1. Найти а, при которых число -1 лежит между корнями уравнения х 2 +2ах+4а 2 -а-2=0 Мы варьируем условие! Во второй задаче корень лежит между числами, а в третьей число лежит между корнями.

Вернемся ко второй задаче: обязательно ли условие D≥0?

Развиваем III ключевую задачу:

3sinх+(4-2а)sinх+1 -а =0 имеем корни разного знака? Sinх=1; |t| ≤ 1

3t 2 — (4 — 2а)t +1 — а 2 = 0

f(-1)>0 f(1)>0 (0)>0

a 2 +2a-8 2 -2a 2 -1>0

(a+4)(a-2) 0

Ответ: а (1,2)

При каких а, уравнение соs 2 х-(а-2)соsх+4а+1=0 не имеет корней? cosх=t |t| 2 -4(4a+1) 2 -12a 0
f(-1) б х+cos б х+a*sinхсоsх≥0
sin 4 х-sin 2 хсоs 2 х+соs 4 х+аsinхсоsх≥0
1-3sin 2 хсоs 2 х+аsinхсоsх≥0

Ответ:

7. При каких а корни уравнения х 2 -2х-а +1=0 лежат между корнями уравнения

Квадратные уравнения с параметром

Уравнение называется квадратным, если имеет вид \(ax^2+bx+c=0,\) где \(a,b,c\) — любые числа \((a≠0)\). При этом надо быть внимательным, если \(a=0\), то уравнение будет линейным, а не квадратным. Поэтому, первым делом при решении квадратного уравнения с параметром, рекомендую смотреть на коэффициент при \(x^2\) и рассматривать 2 случая: \(a=0\) (линейное уравнение); \(a≠0\) (квадратное уравнение). Квадратное уравнение часто решается при помощи дискриминанта или теоремы Виета.

Исследование квадратного многочлена

Чтобы решить квадратное уравнение с параметром, нужно понять, при каких значениях параметра существуют корни, и найти их, выразив через параметр. Обычно это делается просто через анализ дискриминанта. (см. пример 1) Но иногда в задачах с параметром просят найти такие значения параметра, при которых корни принадлежат определенному числовому промежутку. Например:

• Найдите такие значения параметра, чтобы оба корня были меньше некоторого числа \(γ\): \(x_1≤x_2 0)\); ветки параболы направлены вниз \((a 0\). Значит, между корнями функция принимает отрицательные значения, а вне этого отрезка – положительные. Так как наше число \(γ\) должно по условию лежать вне отрезка \((x_1,x_2)\), то \(f(γ)>0\).
• \(a 0\). Этим условием мы накладываем ограничение, что наши корни должны лежать слева или справа от числа \(γ\).

В итоге получаем:

если \(a*f(γ) 0\), то \(γ∉(x_1,x_2)\).

Нам осталось наложить условие, чтобы наши корни были слева от числа \(γ\). Здесь нужно просто сравнить положение вершины нашей параболы \(x_0\) относительно \(γ\). Заметим, что вершина лежит между точками \(x_1\) и \(x_2\). Если \(x_0 0, \\x_0

При каких значениях параметра a уравнение $$a(a+3) x^2+(2a+6)x-3a-9=0$$ имеет более одного корня?

1 случай: Если \(a(a+3)=0\), то уравнение будет линейным. При \(a=0\) исходное уравнение превращается в \(6x-9=0\), корень которого \(x=1,5\). Таким образом, при \(a=0\) уравнение имеет один корень.
При \(a=-3\) получаем \(0*x^2+0*x-0=0\), корнями этого уравнения являются любые рациональные числа. Уравнение имеет бесконечное количество корней.

2 случай: Если \(a≠0; a≠-3\), то получим квадратное уравнение. При положительном дискриминанте уравнение будет иметь более одного корня: $$D>0$$ $$D/4=(a+3)^2+3a(a+3)^2>0$$ $$(a+3)^2 (3a+1)>0$$ $$a>-\frac<1><3>.$$ С учетом \(a≠0;\) \(a≠-3\), получим, что уравнение имеет два корня при \(a∈(-\frac<1><3>;0)∪(0;+∞)\). Объединив оба случая получим (внимательно прочитайте, что от нас требуется):

Найти все значения параметра a, при которых корни уравнения $$(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1=0$$ принадлежат отрезку \([-2;2]\).

1 случай: Если \(a=-1\), то \(0*x^2-x+1-1=0\) отсюда \(x=0\). Это решение принадлежит \([-2;2]\).

2 случай: При \(a≠-1\), получаем квадратное уравнение, с условием, что все корни принадлежат \([-2;2]\). Для решения введем функцию \(f(x)=(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1\) и запишем систему, которая задает требуемые условия:

Подставляем полученные выражения в систему: