Значение буквы при подстановке которого в уравнение

Математика. 6 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

Уравнение – равенство содержащее букву, значение которой надо найти.

Решить уравнение – значит найти все его корни.

Корнем уравнения называют такое число, при подстановке которого в уравнение вместо неизвестного, получается верное числовое равенство.

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Как решаются уравнения? Чем уравнение отличается от буквенного выражения? На эти и другие вопросы, связанные с уравнениями, мы сегодня и будем отвечать.

Дадим определение уравнению. Уравнением называют равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

Например, 2х – 5=17.

Решить уравнение – значит найти все его корни.

В нашем случае x=11.

Корнем уравнения называют такое число, при подстановке которого в уравнение вместо неизвестного, получается верное числовое равенство.

Подставим в уравнение корень

Получается, что левая и правая части равны семнадцати.

При решении уравнений можно использовать следующие приёмы:

– переносить числа из одной части уравнения в другую, меняя их знак на противоположный.

– делить или умножать обе части уравнения на одно и тоже число отличное от нуля.

Равенство не изменится, если к обеим частям уравнения прибавить по числу три икс:

Перенесём число 7 из левой части в правую часть уравнения с противоположным знаком:

Применим распределительный закон для правой части:

Упростим левую и правую части уравнения:

Равенство не изменится, если обе части уравнения разделить на 5:

2 ∙ (– 3) + 7 = – 3 ∙ (– 3) – 8,

Значит, корень уравнения найден верно.

Перенесём число 3 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

Где используются уравнения?

Ответ на этот вопрос достаточно прост. Уравнения используются практически везде. В школе мы решаем с помощью уравнений текстовые задачи. В окружающем нас мире все природные и жизненные процессы протекают по определённым закономерностям, большинство из которых можно описать с помощью уравнений. Например, если нужно определить во сколько должен выехать автомобиль, чтобы прибыть вовремя из пункта А в пункт В, необходимо использовать уравнения движения. Для точного расчёта затрат и прибыли на предприятиях используют экономические уравнения. В медицине для обработки данных ультразвуковых исследований организма тоже используются уравнения.

Итак, уравнения – это универсальный инструмент для решения самых разных прикладных задач.

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1.Найдите корни уравнения.

Перенесём – 5 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

Вычислим отдельно левую и правую части уравнения.

Это и есть корень уравнения.

Тип 2. Будет ли являться корнем данного уравнения число 7?

Чтобы выполнить данное задание нужно подставить число 7 вместо неизвестного х и проверить, будут лиравны правая и левая части уравнения. Если будут равны, то число является корнем уравнения, если правая и левая части уравнения не равны, то число не является корнем уравнения.

Видно, что при подстановке в уравнение числа 7 верное равенство не получилось. Следовательно, число 7не является корнем уравнения.

Урок-обобщение по теме «Уравнение». 5-й класс

Разделы: Математика

Класс: 5

• повторить и систематизировать знания учащихся по теме «Уравнение»;
• уметь решать уравнения;
• уметь решать задачи с помощью уравнения;
• подготовить учащихся к контрольной работе.

Развивающая: развивать интерес к математике.

Воспитательная: воспитывать дисциплинированность, ответственное отношение к учебному труду.

I. Организационный момент

Сообщение цели. На этом уроке мы повторим всё, что знаем об уравнениях. Урок проведем следующим образом: за правильный ответ, решение уравнения или задачи ученик будет получать звездочку. В конце урока подведем итоги, определим лучших знатоков темы, выставим отметки.

II. Устная работа

Учащиеся по цепочке решают примеры.

16 : (17 + 19 – 28) = 4 + 16 : (11 – 9) = 56 – 18 : 3 * 5 = (23 + 49 – 68) * 10 = 4 * (12 – 6) : 3 = 9 * 10 + 36 : 6 = 36 : (27 – 18) + 3 = 5 * 5 + 19 – 36 = 18 : 2 * (45 – 37) = (8 * 2 + 4) : 4 = 5 * 3 – 45 : 5 = 64 : (2 * 4) – 3 = (51 – 6 * 7) : 3 =

(75 – 19) : 2 + 6 = 6 * 8 + 14 : 2 = 46 – 90 : (2 * 5) = (19 + 9) : 4 * 2 = (14 – 72 : 9) * 4 = (6 * 6 – 27) : 8 = 8 : 2 * 9 – 17 = (9 * 3 + 8) : 7 = 40 : 4 * 2 + 17 = 10 * 5 – 42 : 6 = 9 * (2 + 70 : 10) = 6 * 3 – 81 : 9 =

III. Самостоятельная работа

У каждого учащегося на парте лежат карточки с заданиями.

Карточка 1. Заполни пропуски.

1. равенство, содержащее букву, значение которой нужно найти, называют ______
2. значение буквы, при подстановке которого в уравнение в результате получается верное равенство, называют _____________
3. решить уравнение – значит найти его _______ (или убедиться, что уравнение не имеет ни одного ________ )
4. чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы _______ известное ________
5. чтобы найти неизвестное уменьшаемое надо ______________________________
6. чтобы найти неизвестное вычитаемое надо ________________________________

Карточка 2. От чисел в кружочках проведи линии к уравнениям, для которых они являются корнями.

Карточка 3. Заполни пропуски в таблице.

Х + 48 = 101 Х = ____

Х – 83 = 25 Х = __

65 – У =13 У = __

После выполнения всех заданий учитель открывает ответы на доске. Идет самопроверка.

V. Работа в тетрадях

I вариант 802 – х = 416 (24 – х) + 37 = 49 (38 + у) – 18 = 31

II вариант 17х + 112 = 8680 у – 39 = 57 74 – (15 + х) = 22

После выполнения задания ребята первого варианта проверяют решение задания у второго варианта, и наоборот.

VI. Работа у доски. Решение задач

Задача 1. Если из задуманного числа вычесть 57, а разность разделить на 2, то получится 10. Найти задуманное число.

Задача 2. В одну коробку положили несколько карандашей, во вторую – на 8 больше, чем в первую, а в третью – на 5 меньше чем во вторую. В трех коробках вместе оказалось 50 карандашей. Сколько карандашей было в каждой коробке?

VII. Подведение итогов

Определяются лучшие знатоки данной темы, выставляются оценки.

Значение буквы при подстановке которого в уравнение

В алгебре рассматриваются два вида равенств – тождества и уравнения.

Тождество – это равенство, которое выполняется при всех (допустимых) значениях входящих в него букв.

Уравнение – это равенство, которое выполняется лишь при некоторых значениях входящих в него букв.

Буквы, входящие в уравнение, могут быть неравноправными: одни могут принимать все свои допустимые значения, которые называют коэффициентами (иногда – параметрами) уравнения, другие, значения которых требуется отыскать, называют неизвестными данного уравнения (как правило, их обозначают последними буквами латинского алфавита x , y , z , u , v , w , или теми же буквами, снабженными индексами: x 1 , x 2 , . x n или y 1 , y 2 . y n и т.д.)

В зависимости от числа неизвестных уравнение называют уравнением с одним, двумя и более неизвестными. Значения неизвестных, обращающие уравнение в тождество, называют решениями уравнения. Уравнение считается решенным, если найдены все его решения или показано, что уравнение решений не имеет. Значение переменной, при подстановке которого в уравнение с одним неизвестным получается верное равенство, называется корнем этого уравнения. Задача “решить уравнение” – наиболее часто встречаемая задача. Обычно схема решения уравнений заключается в том, что с помощью тех или иных преобразований исходное уравнение сводится к более простому уравнению, которое мы умеем решать. Несколько уравнений с одной переменной образуют совокупность уравнений, если ставится задача об отыскании всех таких значений переменной , каждое из которых удовлетворяет по крайней мере одному из заданных уравнений. Решением совокупности уравнений является объединение множеств корней уравнений, составляющих данную совокупность.

В дальнейшем, не оговаривая этого каждый раз, мы будем находить только действительные решения.

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными (в частности, оба уравнения могут и не иметь корней).

Если каждый корень уравнения f ( x ) = g ( x ) является в то же время корнем другого уравнения f 1 ( x ) = g 1 ( x ) , полученного с помощью некоторых преобразований из исходного уравнения, то последнее уравнение называют следствием исходного уравнения.

Если каждое из двух уравнений является следствием другого из них, то такие уравнения являются равносильными ( эквивалентными ).

Если при выполнении преобразований уравнение f ( x ) = g ( x ) свелось к уравнению f 1 ( x ) = g 1 ( x ) , некоторые корни которого не являются корнями уравнения f ( x ) = g ( x ) , то эти корни уравнения f 1 ( x ) = g 1 ( x ) называют посторонними корнями уравнения f ( x ) = g ( x ) .

Если при выполнении преобразований уравнение f ( x ) = g ( x ) свелось к уравнению f 1 ( x ) = g 1 ( x ) , причем некоторые корни уравнения f ( x ) = g ( x ) не являются корнями уравнения f 1 ( x ) = g 1 ( x ) , то в этом случае говорят о потере корней. Поэтому важно знать, какие из преобразований сводят исходное уравнение к равносильному, какие приводят к уравнению – следствию, а какие – к потере корней.

Посторонние корни, возникшие в процессе преобразований, можно выявить проверкой. Конечно, если все преобразования приводили нас к цепочке равносильных уравнений, то проверка необязательна. Однако этого не всегда можно добиться, легче следить за тем, чтобы каждое уравнение цепочки являлось следствием предыдущего, т.е. чтобы не происходила потеря корней. В этом случае проверка является элементом решения. Следует отметить, что часто легче сделать проверку, чем обосновать то, что в ней нет необходимости. Кроме того, проверка является средством контроля правильности проделанных вычислений. Иногда полезно поступать так: на каждом этапе решения уравнения определять промежутки, в которых могут находиться корни уравнения. Все корни, не принадлежащие этим промежуткам, являются посторонними и должны быть отброшены. Однако остальные корни всё равно необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение.

@ Приведем основные приемы, которые применяются при решении уравнений, сформулированные в виде следующих утверждений.

1. Если к обеим частям уравнения f ( x ) = g ( x ) прибавить одно и то же выражение

которое имеет смысл при всех x из области определения уравнения

f ( x ) = g ( x ) , то получится уравнение

, равносильное данному. Уравнения

равносильны.

Следует заметить, что в первом утверждении речь идет только об одном преобразовании – прибавлении к обеим частям уравнения одного и того же выражения. Приведение подобных членов (если оно возможно) – это новое преобразование уравнения, которое может привести к уравнению, неравносильному исходному. Так, если к обеим частям

уравнения

прибавить

то получится уравнение

равносильное исходному. Однако, если в последнем уравнении выполнить

приведение подобных членов, то получится уравнение

неравносильное исходному, ибо значение x = –2 является корнем последнего уравнения, но не является корнем исходного уравнения.

Уничтожение в обеих частях заданного уравнения выражения

привело к расширению области определения уравнения, в результате чего могли появиться посторонние корни.

2. Если обе части уравнения f ( x ) = g ( x ) умножить или разделить на

одно и то же выражение

которое имеет смысл при всех

значениях x из области определения данного уравнения и нигде в этой области определения не обращается в нуль, то получатся уравнения

равносильные данному.

Следует заметить, что в этом утверждении речь идет об одном преобразовании – умножении (или делении) обеих частей уравнения на одно и то же выражение. Последующее же сокращение дроби (если оно возможно) – это новое преобразование уравнения, которое может привести к уравнению, неравносильному исходному. Так,

если обе части уравнения

умножить на

то получится равносильное ему уравнение

же теперь в левой части этого уравнения выполнить сокращение на x + 1 , то

получится уравнение

неравносильное данному, т.к. значение

x = –1 является корнем последнего уравнения и не является корнем исходного

уравнения. Это произошло в результате расширения области определения исходного

уравнения (при сокращении на множитель x + 1 ).

3. Если обе части уравнения f(x)=g(x) , где

при всех x из

области определения уравнения, возвести в одну и ту же натуральную степень n ,

то получится уравнение

равносильное данному.

Замечание : если n – нечетное число, то в нашем утверждении условие

можно опустить.

Освобождение от знака корня (если оно возможно) – это новое преобразование уравнения, которое может привести (как в первых двух утверждениях) к расширению области определения уравнения, а потому и к уравнению, неравносильному данному.

При решении уравнений приходится также применять преобразования, не оговоренные в первых трех утверждениях, т.е. такие преобразования, которые могут привести к появлению посторонних корней или даже к потере корней. Основной причиной в этом случае являются преобразования, выполняемые с помощью формул, изменяющих области определения уравнения.